甲、乙兩大超市同時開業(yè),第一年的全年銷售額都為a萬元,由于經(jīng)營方式不同,甲超市前n年的總銷售額為
a
2
(n2-n+2)萬元,乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多(
2
3
)
n-1
a
萬元.
(1)設(shè)甲、乙兩超市第n年銷售額分別為an,bn,求an,bn的表達式;
(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%,則該超市將被另一超市收購,判斷哪一超市有可能被收購?如果有這種情況,將會出現(xiàn)在第幾年.
分析:(1)利用Sn=
a
2
(n2-n+2),即an=Sn-Sn-1,可求an的表達式;n≥2時,bn-bn-1=(
2
3
n-1a,利用bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1),可求bn的表達式;
(2)利用(1)中an,bn的表達式,代入求解,計算可得第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半,乙超市將被甲超市收購.
解答:解:(1)設(shè)甲超市前n年總銷售額為Sn,則Sn=
a
2
(n2-n+2).
因n=1時,a1=a;n≥2時,an=Sn-Sn-1=
a
2
(n2-n+2)-
a
2
[(n-1)2-(n-1)+2]=a(n-1),
故an=
a,n=1
(n-1)a,n≥2
又因b1=a,n≥2時,bn-bn-1=(
2
3
n-1a.
故bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1
=a+
2
3
a+(
2
3
2a+…+(
2
3
n-1a=[1+
2
3
+(
2
3
2+…+(
2
3
n-1]a=
1-(
2
3
)n
1-
2
3
×a=[3-2•(
2
3
n-1]a.
顯然n=1也適合,故bn=[3-2•(
2
3
n-1]a(n∈N*).
(2)當(dāng)n=2時,a2=a,b2=
5
3
a,有a2
1
2
b2;當(dāng)n=3時,a3=2a,b3=
19
9
a,有a3
1
2
b3;
當(dāng)n≥4時,an≥3a,而bn<3a,故乙超市有可能被收購.
當(dāng)n≥4時,令
1
2
an>bn,則
1
2
(n-1)a>[3-2•(
2
3
n-1]a,∴n-1>6-4•(
2
3
n-1,即n>7-4•(
2
3
n-1
又當(dāng)n≥7時,0<4•(
2
3
n-1<1,故當(dāng)n∈N*且n≥7時,必有n>7-4•(
2
3
n-1
即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半,乙超市將被甲超市收購.
點評:本題考查數(shù)列的通項,考查疊加法,考查利用數(shù)列知識解決實際問題,確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

甲、乙兩大超市同時開業(yè),第一年的全年銷售額都為a萬元,由于經(jīng)營方式不同,甲超市前n年的總銷售額為數(shù)學(xué)公式(n2-n+2)萬元,乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多數(shù)學(xué)公式萬元.
(1)設(shè)甲、乙兩超市第n年銷售額分別為an,bn,求an,bn的表達式;
(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%,則該超市將被另一超市收購,判斷哪一超市有可能被收購?如果有這種情況,將會出現(xiàn)在第幾年.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

甲、乙兩大超市同時開業(yè),第一年的全年銷售額為a萬元,由于經(jīng)營方式不同,甲超市前n年的總銷售額為萬元,乙超市第年的銷售額比前一年銷售客多萬元。

   (Ⅰ)求甲、乙兩超市第年銷售額的表達式;

   (Ⅱ)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%,則該超市將被另一超市收購,判斷哪一超市有可能被收購?如果有這種情況,將會出現(xiàn)在第幾年。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

甲、乙兩大超市同時開業(yè),第一年的全年銷售額均為a萬元,由于經(jīng)營方式不同,甲超市前n年的總銷售額為(n2-n+2)萬元,乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多()n-1a萬元.

(1)求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達式;

(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%,則該超市將被另一超市收購,判斷哪一超市有可能被收購?如果有這種情況,將會出現(xiàn)在第幾年?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007-2008學(xué)年山東省泰安市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

甲、乙兩大超市同時開業(yè),第一年的全年銷售額都為a萬元,由于經(jīng)營方式不同,甲超市前n年的總銷售額為(n2-n+2)萬元,乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多萬元.
(1)設(shè)甲、乙兩超市第n年銷售額分別為an,bn,求an,bn的表達式;
(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%,則該超市將被另一超市收購,判斷哪一超市有可能被收購?如果有這種情況,將會出現(xiàn)在第幾年.

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