Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（2）若，討論的單調(diào)性；

（3）若，為在上的最小值，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．當(dāng)或時(shí)在單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增；（3）見解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)法求最值.

（2）根據(jù)．求導(dǎo)，分，即和分類討論求解.

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．得到．要證，只需求得最大值即可.

（1）當(dāng)時(shí)，，．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

所以當(dāng)時(shí)，取最小值．

（2）．

，

若，即時(shí)，則由得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

若，則由得或，

構(gòu)造函數(shù)，則．由，得，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．，

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．

若，，在單調(diào)遞增．

若或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增；

綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

當(dāng)或時(shí)在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增．

（3）證明：由（2）知，若，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

．

令．

則，

令，，

所以在上單調(diào)遞減，，．

存在唯一的，使得，

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

故當(dāng)時(shí)，，

又．，

當(dāng)時(shí)，．