【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C: =1(a>1)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,P是橢圓C上任一點(diǎn),且點(diǎn)P位于第一象限.直線PA交y軸于點(diǎn)Q,直線PB交y軸于點(diǎn)R.當(dāng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,1)時(shí),點(diǎn)R坐標(biāo)為(0,2)
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證: 為定值;
(3)求證:過(guò)點(diǎn)R且與直線QB垂直的直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】
(1)解:由題意可得A(﹣a,0),B(a,0),
當(dāng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,1)時(shí),點(diǎn)R坐標(biāo)為(0,2),
即有kPA= ,直線PA:y= x+1,
kPB=﹣ ,直線PA:y=﹣ x+2,
解得交點(diǎn)P( , ),
代入橢圓方程可得 + =1,
解得a= ,
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1
(2)證明:設(shè)Q(0,s),R(0,t),
由橢圓的方程可得A(﹣ ,0),B( ,0),
即有直線PA:y= x+s,直線PB的方程為y=﹣ x+t,
解得交點(diǎn)P( , ),
代入橢圓方程可得 + =1,
化簡(jiǎn)可得st=2,
即有 =st=2為定值;
(3)證明:由(2)可得st=2,即t= ,
直線QB的斜率為k=﹣ ,
即有過(guò)點(diǎn)R且與直線QB垂直的直線方程為y= x+t,
即為y= ,令x=﹣ ,可得y=0,
則過(guò)點(diǎn)R且與直線QB垂直的直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn),坐標(biāo)為(﹣ ,0)
【解析】(1)求得A,B的坐標(biāo),直線PA,PB的方程,求交點(diǎn)P,代入橢圓方程,解方程,可得a,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)設(shè)Q(0,s),R(0,t),求得直線PA,PB的方程,求交點(diǎn)P,代入橢圓方程,化簡(jiǎn)整理可得st=2,再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得定值;(3)求得QB的斜率,運(yùn)用兩直線垂直的條件:斜率之積為﹣1,求得垂線的方程,由st=2,代入,結(jié)合直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法,可得定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=kx3+3(k﹣1)x2﹣k2+1在x=0,x=4處取得極值.
(1)求常數(shù)k的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(3)設(shè)g(x)=f(x)+c,且x∈[﹣1,2],g(x)≥2c+1恒成立,求c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)兩點(diǎn)A(1,0),B(2,1),且圓心在直線x﹣y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,12月1日至12月5日的晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)如下表所示:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
溫差x(℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)y(顆) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2組數(shù)據(jù)的概率.
(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程.
(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(wèn)(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形.點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.
(Ⅰ)求證:AB∥EF;
(Ⅱ)若PA=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求證:AF⊥平面PCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,江的兩岸可近似的看成兩平行的直線,江岸的一側(cè)有A,B兩個(gè)蔬菜基地,江的另一側(cè)點(diǎn)C處有一個(gè)超市.已知A、B、C中任意兩點(diǎn)間的距離為20千米.超市欲在AB之間建一個(gè)運(yùn)輸中轉(zhuǎn)站D,A,B兩處的蔬菜運(yùn)抵D處后,再統(tǒng)一經(jīng)過(guò)貨輪運(yùn)抵C處.由于A,B兩處蔬菜的差異,這兩處的運(yùn)輸費(fèi)用也不同.如果從A處出發(fā)的運(yùn)輸費(fèi)為每千米2元,從B處出發(fā)的運(yùn)輸費(fèi)為每千米1元,貨輪的運(yùn)輸費(fèi)為每千米3元.
(1)設(shè)∠ADC=α,試將運(yùn)輸總費(fèi)用S(單位:元)表示為α的函數(shù)S(α),并寫(xiě)出自變量的取值范圍;
(2)問(wèn)中轉(zhuǎn)站D建在何處時(shí),運(yùn)輸總費(fèi)用S最。坎⑶蟪鲎钚≈担
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,過(guò)F2的直線交雙曲線的右支于P,Q兩點(diǎn),若|PF1|=|F1F2|,且3|PF2|=2|QF2|,則該雙曲線的離心率為 ( )
A. B. C. 2 D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù),例如:
他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似地,稱圖2中的1,4,9,16,…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是
A. 289 B. 1 024 C. 1 225 D. 1 378
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