【題目】如圖,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC與BD相交于點O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=2,CF=3.
(1)求證:BD⊥平面ACFE;
(2)當直線FO與平面BED所成角的大小為45°時,求AE的長度.
【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴BD⊥AC.…(1分)
∵AE⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
∴BD⊥AE,
又AC平面ACFE,AE平面ACFE,AC∩AE=A,
∴BD⊥平面ACFE
(2)解:以O為原點,以OA,OB所在直線分別為x軸,y軸,以過點O且平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐標系.
則 .
設AE=a,則E(1,0,a),
∴ ,
設平面BDE的法向量為 ,則 )
即 令z=1,得 ,
∴ ,
∵直線FO與平面BED所成角的大小為45°,∴ ,
解得a=2或 (舍),∴|AE|=2.
【解析】(1)由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD,由菱形性質(zhì)得BD⊥AC,故而BD⊥平面ACFE;(2)以O為原點建立坐標系,設CF=a,求出 和平面BDE的法向量,利用直線FO與平面BED所成角的大小為45°,可得 ,即可求出a的值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為4的正三角形ABC中,D,E,F分別為各邊的中點,G,H分別為DE,AF的中點,將沿DE,EF,DF折成正四面體,則在此正四面體中,下列說法正確的是______.
異面直線PG與DH所成的角的余弦值為;
;
與PD所成的角為;
與EF所成角為
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足a3=2,前3項和為S3=.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設等比數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n項和Tn.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知P是直線上的一個動點,圓Q的方程為:設以線段PQ為直徑的圓E與圓Q交于C,D兩點.
證明:PC,PD均與圓Q相切;
當時,求點P的坐標;
求線段CD長度的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點,若F2關于漸近線的對稱點恰落在以F1為圓心為半徑的圓上,則雙曲線C的離心率為 _____.
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