在四面體ABCD中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,則四面體ABCD的外接球的半徑為
3
3
分析:設(shè)四面體ABCD的外接球球心為O,則O在過△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂線上,且點N為△ABD的中心.設(shè)P,M分別為AB,CD的中點,則N在DP上,且ON⊥DP,OM⊥CD,從而可求DM,MN,進而可求四邊形DMON的外接圓的直徑,即可求得球O的半徑.
解答:解:設(shè)四面體ABCD的外接球球心為O,則O在過△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂線上.
由題設(shè)知,△ABD是正三角形,則點N為△ABD的中心.
設(shè)P,M分別為AB,CD的中點,則N在DP上,且ON⊥DP,OM⊥CD.
因為∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°,設(shè)CD與平面ABD所成角為θ,
cosθ=
1
3
,sinθ=
2
3

在△DMN中,DM=
1
2
CD=1,DN=
2
3
•DP=
2
3
3
2
•3=
3

由余弦定理得MN2=12+(
3
)2-2•1•
3
1
3
=2
,
MN=
2

∴四邊形DMON的外接圓的直徑OD=
MN
sinθ
=
2
2
3
=
3

故球O的半徑R=
3

故答案為:
3
點評:本題考查四面體ABCD的外接球,考查學(xué)生的計算能力,確定四面體ABCD的外接球球心位置是關(guān)鍵.
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A、
1
3
B、
1
2
C、
2
3
D、
4
3

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