Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：

Answer 1

【答案】（1）遞減區(qū)間為（-1，0），遞增區(qū)間為（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式，先求得導(dǎo)函數(shù)，由是函數(shù)的極值點(diǎn)可求得參數(shù).求得函數(shù)定義域，并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可判斷單調(diào)區(qū)間.

（2）當(dāng)時(shí)，.代入函數(shù)解析式放縮為，代入證明的不等式可化為，構(gòu)造函數(shù)，并求得，由函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函數(shù)的最小值，由對(duì)數(shù)式變形化簡(jiǎn)可證明，即成立，原不等式得證.

（1）函數(shù)

可求得，則

解得

所以，定義域?yàn)?/span>

，

在單調(diào)遞增，而，

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

此時(shí)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，

的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為

（2）證明：當(dāng)時(shí)，

，

因此要證當(dāng)時(shí)，，

只需證明，

即

令，

則，

在是單調(diào)遞增，

而，

∴存在唯一的，使得，

當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增，

因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，

，

，

故，

從而，即，結(jié)論成立.