如圖,四棱錐中,底面,四邊形中,,,.

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ)設

(ⅰ) 若直線與平面所成的角為,求線段的長;

(ⅱ) 在線段上是否存在一個點,使得點到點的距離都相等?說明理由.

 

 

【答案】

(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ) ,不存在點.

【解析】

試題分析:(Ⅰ)先證明線面垂直平面,再證明面面垂直平面⊥平面;(Ⅱ)先建立直角坐標系,設平面的法向量為,利用兩向量垂直,,列表達式,求出法向量,再由直線與平面所成的角為,得出法向量中的參量;先設存在點,找出的坐標,利用距離相等,列出表達式,看方程是否有根來判斷是否存在點.

試題解析:解法一:

(Ⅰ)證明:因為平面平面,

所以,又,,

所以平面,又平面,

所以平面⊥平面.                 3分

(Ⅱ)以為坐標原點,建立空間直角坐標系 (如圖).

在平面內(nèi),作于點,則.

中,

.

, 則,

,

所以,

,.                 5分

(ⅰ)設平面的法向量為

,,得

,得平面的一個法向量

,故由直線與平面所成的角為

,即.

解得 (舍去,因為),所以.           7分

(ⅱ)假設在線段上存在一個點,使得點到點的距離都相等.

 (其中).

,,

,得

;①

,得.  ②

由①、②消去,化簡得. ③

由于方程③沒有實數(shù)根,所以在線段上不存在一個點,使得點到點的距離都相等.

從而,在線段上不存在一個點

使得點到點的距離都相等.              12分

解法二:

(Ⅰ)同解法一:

(Ⅱ)(ⅰ)以為坐標原點,建立空間直角坐標系 (如圖).

在平面內(nèi),作于點,

,

中,

.

,則,

.

所以,,,

.                 5分

設平面的法向量為

,,得

,得平面的一個法向量

,故由直線與平面所成的角為

,即.

解得 (舍去,因為),所以.           7分

(ⅱ)假設在線段上存在一個點,使得點到點的距離都相等.

,得,

從而,即

所以.

,則.

中,

,這與矛盾.

所以在線段上不存在一個點,使得點的距離都相等.

從而,在線段上不存在一個點,使得點到點的距離都相等

考點:1.線面垂直的判定;2.面面垂直的判定;3.向量垂直的應用;4.線面角公式.

 

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