Question

判斷命題“若a＞0，則x²＋x－a＝0有實(shí)根”的逆否命題的真假．

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Answer 1

答案：T
解析：

解法1　　寫出逆否命題，再判斷其真假． 　　原命題：若a＞0，則x2＋x－a＝0有實(shí)根． 　　“逆否命題：若x2＋x－a＝0無實(shí)根，則a＜0” 　　判斷如下： 　　∵x2＋x－a＝0無實(shí)根， 　　∴Δ＝1＋4a＜0， 　　∴a＜－＜0． 　　∴“若x2＋x－a＝0無實(shí)根，則a＜0”為真命題． 　　解法2　　利用命題之間關(guān)系：原命題與逆否命題同真同假(即等價(jià)關(guān)系)證明． 　　∵a≥0，∴4a≥0．∴4a＋1＞0 　　∴方程x2＋x－a＝0的判別式Δ＝4a＋1＞0 　　∴方程x2＋x－a＝0有實(shí)很． 　　故原命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實(shí)根”為真． 　　又因原命題與其逆否命題等價(jià)，所以“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實(shí)根”． 　　解法3　　利用充要條件與集合的包含、相等關(guān)系． 　　命題p：a＞0，q：x2＋x－a＝0有實(shí)根． 　　q：A＝{a∈R|a＞0} 　　q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0有實(shí)根}＝{a∈R|a≥－}． 　　∵a≥0，∴4a≥0，1＋4a＞0． 　　∴方程x2＋x－a＝0的判別式Δ＝1＋4a＞0． 　　∴方程x2＋x－a＝0有實(shí)根． 　　即AB，∴“若q則q為真”． 　　∴“若p則q”的逆否命題“若q則q”為真． 　　∴若a＞0，則x2＋x－a＝0有實(shí)根的逆否命題為真． 　　解法4　　設(shè)p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有實(shí)根． 　　則p：a＜0，q：x2＋x－a＝0無實(shí)數(shù)根． 　　∴p：A＝{a∈R|a＜0} 　　q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0無實(shí)根}＝{a∈Ra＜－}． 　　∵BA，∴“若q，p”為真，即“若方程x2＋x－a＝0無實(shí)根，則a＜0”為真． 　　評(píng)析　　(1)判定命題的真假時(shí)，常用定義法(解法1)，或利用原命題與其逆否命題的等價(jià)關(guān)系(解法2)． 　　(2)用集合的觀點(diǎn)分析解決數(shù)學(xué)問題是非常必要的，它具有分析問題的簡(jiǎn)明性和解決問題的簡(jiǎn)捷性．應(yīng)注意的是，建立與命題相應(yīng)的集合的準(zhǔn)確性，這是準(zhǔn)確運(yùn)用集合知識(shí)解決非集合問題的關(guān)鍵． 　　(3)由此例可知互為逆否命題的兩個(gè)命題同真或同假，這正是用反證法證明一個(gè)命題的理論基礎(chǔ)(逆命題、否命題不一定與原命題同真假)．