Question

【題目】已知函數， .

（1）證明： ，直線都不是曲線的切線；

（2）若，使成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）若直線與曲線相切，因直線過定點，若設切點則可得①，又， 上單調遞增，當且僅當時，①成立，這與矛盾,結論得證.

（2）可轉化為，令， ， ，分類討論求的最小值即可.

試題解析： （1）的定義域為， ，直線過定點，若直線與曲線相切于點（且），則，即①，設， ，則，所以在上單調遞增，又，從而當且僅當時，①成立，這與矛盾.

所以， ，直線都不是曲線的切線；

（2）即，令， ，

則，使成立，

.

（i）當時， ， 在上為減函數，于是，由得，滿足，所以符合題意；

（ii）當時，由及的單調性知在上為增函數，所以，即.

①若，即，則，所以在為增函數，于是，不合題意；

②若，即，則由， 及的單調性知存在唯一，使，且當時， ， 為減函數；當時， ， 為增函數；

所以，由得，這與矛盾，不合題意.

綜上可知， 的取值范圍是.