Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₂=3，且數(shù)列{a_n+1+a_n}是公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{a_n+1-a_n}是公比為-1的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：當(dāng)k為正奇數(shù)時(shí)，
（3）求證：當(dāng)．

Answer 1

（1）解：在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₂=3，
∵數(shù)列{a_n+1+a_n}是公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n+1+a_n=（a₂+a₁）•2^n-1=3•2ⁿ，①
∵數(shù)列{a_n+1-2a_n}是公比為-1的等比數(shù)列，
∴a_n+1-2a_n=（a₂-2a₁）（-1）^n-1=3（-1）ⁿ，②
①-②得3a_n=3•2ⁿ+3•（-1）^n-1，
∴a_n=2ⁿ+（-1）^n-1…（5分）
（2）證明：當(dāng)k為正奇數(shù)時(shí)，

=，
∴當(dāng)k為正奇數(shù)時(shí)，…（8分）
（3）證明：當(dāng)n∈N^*時(shí)，
∵，
∴
=
＜
=3×
=＜1．
分析：（1）a_n+1-2a_n=（a₂-2a₁）（-1）^n-1=3（-1）ⁿ，a_n+1+a_n=（a₂+a₁）•2^n-1=3•2ⁿ，由兩式相減能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）當(dāng)k為正奇數(shù)時(shí)，，通分之后能夠得到．
（3）把等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由（2）知＜，由此利用等比數(shù)列的求和公式能夠證明：當(dāng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．