【題目】已知函數(shù)f(x)=4tanxsin( ﹣x)cos(x﹣ )﹣ .
(1)求f(x)的定義域與最小正周期;
(2)討論f(x)在區(qū)間[﹣ , ]上的單調(diào)性.
【答案】
(1)解:∵f(x)=4tanxsin( ﹣x)cos(x﹣ )﹣ .
∴x≠kπ+ ,即函數(shù)的定義域為{x|x≠kπ+ ,k∈Z},
則f(x)=4tanxcosx( cosx+ sinx)﹣
=4sinx( cosx+ sinx)﹣
=2sinxcosx+2 sin2x﹣
=sin2x+ (1﹣cos2x)﹣
=sin2x﹣ cos2x
=2sin(2x﹣ ),
則函數(shù)的周期T=
(2)解:由2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈Z,
得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,即函數(shù)的增區(qū)間為[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈Z,
當k=0時,增區(qū)間為[﹣ , ],k∈Z,
∵x∈[﹣ , ],∴此時x∈[﹣ , ],
由2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈Z,
得kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,即函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z,
當k=﹣1時,減區(qū)間為[﹣ ,﹣ ],k∈Z,
∵x∈[﹣ , ],∴此時x∈[﹣ ,﹣ ],
即在區(qū)間[﹣ , ]上,函數(shù)的減區(qū)間為∈[﹣ ,﹣ ],增區(qū)間為[﹣ , ].
【解析】(1)利用三角函數(shù)的誘導公式以及兩角和差的余弦公式,結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡求解即可.(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.
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【題目】[選修 4-4]參數(shù)方程與極坐標系
在平面直角坐標系中,已知曲線: ,以平面直角坐標系的原點為極點, 軸正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系.已知直線 : .
(Ⅰ)試寫出直線的直角坐標方程和曲線的參數(shù)方程;
(Ⅱ)在曲線上求一點,使點到直線的距離最大,并求出此最大值.
[選修 4-5]不等式選講
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【題目】設等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn , 等比數(shù)列{bn}的公比為q,已知b1=a1 , b2=2,q=d,S10=100.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式
(2)當d>1時,記cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn .
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【題目】定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(1)=0,且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則xf(x)>0的解集為( )
A.{x|x<﹣1或x>1}
B.{x|0<x<1或﹣1<x<0}
C.{x|0<x<1或x<﹣1}
D.{x|﹣1<x<0或x>1}
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【題目】已知雙曲線C:4x2﹣y2=4及直線l:y=kx﹣1
(1)求雙曲線C的漸近線方程及離心率;
(2)直線l與雙曲線C左右兩支各有一個公共點,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過點(2, ).
(1)比較f(2)與f(b2+2)的大。
(2)求函數(shù)g(x)=a (x≥0)的值域.
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【題目】如圖是從成都某中學參加高三體育考試的學生中抽出的40名學生體育成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖,該直方圖恰好缺少了成績在區(qū)間[70,80)內(nèi)的圖形,根據(jù)圖形的信息,回答下列問題:
(1)求成績在區(qū)間[70,80)內(nèi)的頻率,并補全這個頻率分布直方圖,并估計這次考試的及格率(60分及以上為及格);
(2)從成績在[80,100]內(nèi)的學生中選出三人,記在90分以上(含90分)的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性及極值;
(Ⅱ)若不等式在內(nèi)恒成立,求證:.
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