Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）若函數(shù)與的圖象恰好相切與點，求實數(shù) 的值；

（2）當(dāng)時， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證： .

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得,即得實數(shù)的值；（2）利用分參法將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題（x>1）最大值,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：單調(diào)遞減，最后根據(jù)洛必達法則求最大值，即得實數(shù)的取值范圍(3)先根據(jù)和的關(guān)系轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項的關(guān)系： ，再利用（2）的結(jié)論，令，則代入放縮得證

試題解析：（1）

所以

（2）方法一：（分參）

即時， ， 時，顯然成立；

時，即

令，則

令 []

即

在上單調(diào)遞減

故

方法二：（先找必要條件）

注意到時，恰有

令

則

在恒成立的必要條件為

即

下面證明：當(dāng)時，

令

即

在遞減，

恒成立，即也是充分條件，故有.

（3）不妨設(shè)為前項和，則

要證原不等式，只需證

而由（2）知：當(dāng)時恒有

即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號

取，則

即即

即成立，從而原不等式獲證.