(2013•眉山一模)已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)≤0恒成立,試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:
n
i=2
lni
i+1
n(n-1)
4
(n∈N+,n>1).
分析:(1)由函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f(x)=
1
x
-k
.能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)由(1)知k≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),而f(1)=1-k>0,f(x)≤0不成立,故k>0,又由(1)知f(x)的最大值為f(
1
k
),由此能確定實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(3)由(2)知,當(dāng)k=1時(shí),有f(x)≤0在(0,+∞)恒成立,且f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),f(1)=0,即lnx<x-1在x∈[2,+∞)上恒成立,由此能夠證明
n
i=2
lni
i+1
n(n-1)
4
(n∈N+,n>1).
解答:解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f(x)=
1
x
-k

當(dāng)k≤0時(shí),f(x)=
1
x
-k>0
,
f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
當(dāng)k>0時(shí),若x∈(0,
1
k
)
時(shí),有f(x)=
1
x
-k>0
,
若x∈(
1
k
,+∞)
時(shí),有f(x)=
1
x
-k<0
,
則f(x)在(0,
1
k
)上是增函數(shù),在(
1
k
,+∞
)上是減函數(shù).
(2)由(1)知k≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
而f(1)=1-k>0,f(x)≤0不成立,故k>0,
又由(1)知f(x)的最大值為f(
1
k
),要使f(x)≤0恒成立,
則f(
1
k
)≤0即可.,即-lnk≤0,得k≥1.
(3)由(2)知,當(dāng)k=1時(shí),
有f(x)≤0在(0,+∞)恒成立,
且f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),f(1)=0,
即lnx<x-1在x∈[2,+∞)上恒成立,
令x=n2,則lnn2<n2-1,
即2lnn<(n-1)(n+1),從而
lnn
n+1
n-1
2

n
i=2
lni
i+1
n(n-1)
4
(n∈N+,n>1).
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,確定實(shí)數(shù)的取值范圍,不等式的證明.考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•眉山一模)函數(shù)f(x)=
lg|x|
x2
的大致圖象為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•眉山一模)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1-i)-
2
i
等于( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•眉山一模)若集合A={x|x>0},B={x|x2<4},則A∩B=(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•眉山一模)若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S8-S3=20,則S11的值為(  )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案