【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左頂點為,過點的直線與橢圓交于軸上方一點,以為邊作矩形,其中直線過原點.當(dāng)點為橢圓的上頂點時,的面積為,且

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)求矩形面積的最大值;

3)矩形能否為正方形?請說明理由.

【答案】1;(2;(3為正方形,理由見解析.

【解析】

1)根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組,解出、的值,即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)直線的方程為,其中,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,求出點的坐標(biāo),利用兩點間的距離公式求出,并求出,可得出四邊形的面積關(guān)于的表達(dá)式,然后利用基本不等式可求得的最大值;

3)由四邊形為正方形得出,可得出,構(gòu)造函數(shù),利用零點存在定理來說明函數(shù)時有零點,進(jìn)而說明四邊形能成為正方形.

1)由題意:,解得,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;

2)顯然直線的斜率存在,設(shè)為,則直線的方程為,即,

聯(lián)立,

解得,所以,

直線的方程為,即,所以,

所以矩形面積

所以當(dāng)且僅當(dāng)時,矩形面積取最大值為;

3)若矩形為正方形,則,即,則

,

因為,,又的圖象不間斷,

所以有零點,所以存在矩形為正方形.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行,科學(xué)規(guī)劃車輛投放,在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站,為了研究車輛發(fā)車間隔時間與乘客等候人數(shù)之間的關(guān)系,經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):

間隔時間(分鐘)

10

11

12

13

14

15

等侯人數(shù)(人)

23

25

26

29

28

31

調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.檢驗方法如下:先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù),再求與實際等候人數(shù)的差,若差值的絕對值不超過1,則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.

1)若選取的是后面4組數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程,并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”;

2)為了使等候的乘客不超過35人,試用(1)中方程估計間隔時間最多可以設(shè)置為多少(精確到整數(shù))分鐘?

附:對于一組數(shù)據(jù),,……,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C1ab0)的左右焦點分別為F1,F2,點P是橢圓C上一點,以PF1為直徑的圓Ex2過點F2

1)求橢圓C的方程;

2)過點P且斜率大于0的直線l1C的另一個交點為A,與直線x4的交點為B,過點(3,)且與l1垂直的直線l2與直線x4交于點D,求△ABD面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】有一塊以點為圓心,半徑為百米的圓形草坪,草坪內(nèi)距離百米的點有一用于灌溉的水籠頭,現(xiàn)準(zhǔn)備過點修一條筆直小路交草坪圓周于兩點,為了方便居民散步,同時修建小路,其中小路的寬度忽略不計.

1)若要使修建的小路的費用最省,試求小路的最短長度;

2)若要在區(qū)域內(nèi)(含邊界)規(guī)劃出一塊圓形的場地用于老年人跳廣場舞,試求這塊圓形廣場的最大面積.(結(jié)果保留根號和)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,側(cè)棱與底面垂直的四棱柱的底面是平行四邊形,

1)求證:∥平面;

2)若,,,求與平面所成角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知當(dāng),函數(shù),且,若的圖像與的圖像在第二象限有公共點,且在該點處的切線相同,當(dāng)實數(shù)變化時,實數(shù)的取值范圍是_______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知m{1113,15,17,19}n{2000,2001,,2019},則mn的個位數(shù)是1的概率為____________ .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】“綠水青山就是金山銀山”的理念越來越深入人心,據(jù)此,某網(wǎng)站調(diào)查了人們對生態(tài)文明建設(shè)的關(guān)注情況,調(diào)查數(shù)據(jù)表明,參與調(diào)查的人員中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人員中隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡(單位:歲)分組:第1[15,25),第2[25,35),第3[35,45),第4[4555),第5[5565],得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(Ⅰ)求這200人的平均年齡(每一組用該組區(qū)間的中點值作為代表)和年齡的中位數(shù)(保留一位小數(shù));

(Ⅱ)現(xiàn)在要從年齡在第12組的人員中用分層抽樣的方法抽取5人,再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,求抽取的3人中恰有2人的年齡在第2組中的概率;

(Ⅲ)若從所有參與調(diào)查的人(人數(shù)很多)中任意選出3人,設(shè)這3人中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的右焦點為F,直線lC交于M,N兩點.

1)若l過點F,點M,N到直線y2的距離分別為d1,d2,且,求l的方程;

2)若點M的坐標(biāo)為(0,1),直線m過點MC于另一點N′,當(dāng)直線lm的斜率之和為2時,證明:直線NN′過定點.

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