Question

已知拋物線方程y²=4x，過點(diǎn)P（1，2）的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線有（　　）

• A、0條
• B、1條
• C、2條
• D、3條

Answer 1

分析：由題意可知，點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)過P的直線的斜率不存在時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后由判別式等于0求解斜率的值，從而判出與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的條數(shù)．

解答：解：∵點(diǎn)P（1，2）在拋物線y²=4x上，當(dāng)直線過點(diǎn)P（1，2）且斜率為0時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)過點(diǎn)P（1，2）的直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為y-2=k（x-1），
聯(lián)立

y-2=k(x-1) y2=4x

，得ky²-4y-4k+8=0．
由△=（-4）²-4k（-4k+8）=0，解得：k=1．
∴過點(diǎn)P（1，2）的拋物線y²=4x的切線有一條．
綜上，過點(diǎn)P（1，2）與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有2條．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用判別式判斷一元二次方程解的個(gè)數(shù)，是中檔題．