若M,N是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上關(guān)于原點對稱的兩個點,P是橢圓C上任意一點.若直線PM、PN斜率存在,則它們斜率之積為( 。
分析:設(shè)P(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1).代入橢圓方程得到
y
2
0
=b2(1-
x
2
0
a2
)
,
y
2
1
=b2(1-
x
2
1
a2
)
.再利用斜率計算公式可得kPM•kPN=
y1-y0
x1-x0
-y1-y0
-x1-x0
=
y
2
1
-
y
2
0
x
2
1
-
x
2
0
即可得出.
解答:解:設(shè)P(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1).
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1
,
x
2
1
a2
+
y
2
1
b2
=1

得到
y
2
0
=b2(1-
x
2
0
a2
)
,
y
2
1
=b2(1-
x
2
1
a2
)

y
2
1
-
y
2
0
=b2(
x
2
0
a2
-
x
2
1
a2
)

∴kPM•kPN=
y1-y0
x1-x0
-y1-y0
-x1-x0
=
y
2
1
-
y
2
0
x
2
1
-
x
2
0
=
b2
a2
(
x
2
0
-
x
2
1
)
x
2
1
-
x
2
0
=-
b2
a2

故選D.
點評:本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、點與橢圓的位置關(guān)系、斜率計算公式,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦點,若橢圓C上的一點A(1,
3
2
)到F1,F(xiàn)2的距離之和為4.
(1)求橢圓方程;
(2)若M,N是橢圓C上兩個不同的點,線段MN的垂直平分線與x軸交于點P,求證:|
OP
|<
1
2
;
(3)若M,N是橢圓C上兩個不同的點,Q是橢圓C上不同于M,N的任意一點,若直線QM,QN的斜率分別為KQM•KQN.問:“點M,N關(guān)于原點對稱”是KQM•KQN=-
3
4
的什么條件?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•泉州模擬)已知橢圓C的方程為:
x2
a2
+
y2
2
=1 (a>0)
,其焦點在x軸上,離心率e=
2
2

(1)求該橢圓的標準方程;
(2)設(shè)動點P(x0,y0)滿足
OP
=
OM
+2
ON
,其中M,N是橢圓C上的點,直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
,求證:x02+2
y
2
0
為定值.
(3)在(2)的條件下,問:是否存在兩個定點A,B,使得|PA|+|PB|為定值?若存在,給出證明;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•江蘇二模)如圖,已知橢圓C:
x2
4
+y2=1
,A、B是四條直線x=±2,y=±1所圍成的兩個頂點.
(1)設(shè)P是橢圓C上任意一點,若
OP
=m
OA
+n
OB
,求證:動點Q(m,n)在定圓上運動,并求出定圓的方程;
(2)若M、N是橢圓C上兩個動點,且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積,試探求△OMN的面積是否為定值,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年江蘇省蘇北四市高考數(shù)學(xué)二模試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知橢圓C:,A、B是四條直線x=±2,y=±1所圍成的兩個頂點.
(1)設(shè)P是橢圓C上任意一點,若,求證:動點Q(m,n)在定圓上運動,并求出定圓的方程;
(2)若M、N是橢圓C上兩個動點,且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積,試探求△OMN的面積是否為定值,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省徐州市高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷Ⅰ(解析版) 題型:解答題

如圖,已知橢圓C:,A、B是四條直線x=±2,y=±1所圍成的兩個頂點.
(1)設(shè)P是橢圓C上任意一點,若,求證:動點Q(m,n)在定圓上運動,并求出定圓的方程;
(2)若M、N是橢圓C上兩個動點,且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積,試探求△OMN的面積是否為定值,說明理由.

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同步練習(xí)冊答案