已知雙曲線C的方程為x2-y2=4.橢圓E以雙曲線C的頂點為焦點,且其右頂點A到雙曲線C的漸近線距離為.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若直線y=x與橢圓E交于M、N兩點(M點在第一象限),P、Q是橢圓上不同于M的相異兩點,點O為坐標原點,并且滿足(+)·(-)=0.試求直線PQ的斜率.

解:(1)設橢圓的方程為+=1(a＞b＞0),

由題意,解得因此,橢圓的方程為+=1.

(2)由解之,得或

∴M(,).

∵()·()=0,

即()·=0.

又與∠PMQ的平分線共線,

∴∠PMQ的平分線垂直于x軸.

若PM斜率存在,設PM的斜率為k,則QM的斜率為-k,

因此,PM和QM的方程分別為

y=k(x)+,y=-k(x)+.由

消去y并整理,得(1+3k2)x2-3k(k-1)x+k2-9k=0.(*)

∵M(,)在橢圓上,

∴x=是方程(*)的一個根.

從而xP=,

同理xQ=,

從而直線PQ的斜率為

kPQ====.

∴直線PQ的斜率為.

若直線PM的斜率不存在,則點Q、M重合,與題設不符.

綜上所述,直線PQ的斜率為定值.

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的方程為：
x2
9
-
y2
16
=1
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）求與雙曲線C有公共的漸近線，且經(jīng)過點A（-3，2
3
）的雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的方程為
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0），離心率e=
5
2
，頂點到漸近線的距離為
2
5
5
．求雙曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•嘉定區(qū)一模）已知雙曲線C的方程為x2-
y2
4
=1，點A（m，2m）和點B（n，-2n）（其中m和n均為正數(shù)）是雙曲線C的兩條漸近線上的兩個動點，雙曲線C上的點P滿足
AP
=λ•
PB
（其中λ∈[
1
2
，3]）．
（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O為坐標原點）面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），過右焦點F作雙曲線在一，三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線C的左右的交點分別為A，B
（1）求證：點P在直線x=
a2
c
上（C為半焦距）．
（2）求雙曲線C的離心率e的取值范圍．
（3）若|AP|=3|PB|，求離心率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，它的左、右焦點分別F1，F(xiàn)2，左右頂點為A1，A2，過焦點F2先做其漸近線的垂線，垂足為p，再作與x軸垂直的直線與曲線C交于點Q，R，若PF2，A1A2，QF1依次成等差數(shù)列，則離心率e=（　　）

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