Question

某中學(xué)組建了A、B、C、D、E五個(gè)不同的社團(tuán)組織，為培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛(ài)好，要求每個(gè)學(xué)生必須參加且只能參加一個(gè)社團(tuán)，假定某班級(jí)的甲、乙、丙三名學(xué)生對(duì)這五個(gè)社團(tuán)的選擇是等可能的．
（1）求甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩人參加同一社團(tuán)的概率；
（2）（文科）求甲、乙、丙三人中恰有兩人參加A社團(tuán)的概率；
（3）（理科）設(shè)隨機(jī)變量ξ為甲、乙、丙這三個(gè)學(xué)生參加A社團(tuán)的人數(shù)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）每個(gè)學(xué)生參加社團(tuán)，有5種選法，由分步乘法原理即可求解，“甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩名學(xué)生參加同一社團(tuán)”的對(duì)立事件為“三名學(xué)生選擇三個(gè)不同社團(tuán)”，利用對(duì)立事件的概率關(guān)系求解．
（2）求甲、乙、丙三人中恰有兩人參加A社團(tuán)的方法數(shù)是12種，從而求出求甲、乙、丙三人中恰有兩人參加A社團(tuán)的概率；
（3）ξ的所有可能取值為：0，1，2，3，利用古典概型分別求概率，列出分布列求期望即可．

解答：解：（1）甲、乙、丙三名學(xué)生每人選擇五個(gè)社團(tuán)的方法數(shù)是5種，
故共有5×5×5=125（種）．
三名學(xué)生選擇三門不同社團(tuán)的概率為：

A 3 5

53

=

12

25

．
∴三名學(xué)生中至少有兩人選修同一社團(tuán)的概率為：1-

12

25

=

13

25

．
（2））（文科）求甲、乙、丙三人中恰有兩人參加A社團(tuán)的方法數(shù)是12種
故所求概率為

12

125

（3）由題意：ξ=0，1，2，3
．P（ξ=0）=

43

53

=

64

125

； P（ξ=1）=

48

125

；
 P（ξ=2）=

12

25

； P（ξ=3）=

1

125

．
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	64 125	48 125	12 25	1 125

數(shù)學(xué)期望 Eξ=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

25

+3×

1

125

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查計(jì)數(shù)原理、古典概型、及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，難度不大．