Question

（2013•廣西一模）已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，且a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．
（1）求通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè){a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，問(wèn)：是否存在正整數(shù)m、n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，請(qǐng)求出所有的符合條件的正整數(shù)對(duì)（m，n），若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）確定a₁，a₃，…，a_2n-1，…是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；a₂，a₄，…，a_2n，…是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式a_n；
（2）由（1）先求出S_2n，S_2n-1的表達(dá)式，若存在正整數(shù)m、n，使得S_2n=mS_2n-1，則m=

S2n

S2n-1

≤3，再分類(lèi)討論，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，cosnπ=-1；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，cosnπ=1．
所以，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a_n+2=a_n+2；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，a_n+2=3a_n． …（2分）
又a₁=1，a₂=2，，所以a₁，a₃，…，a_2n-1，…是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；
a₂，a₄，…，a_2n，…是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列．        …（4分）
所以，a_n=

n，n為奇數(shù) 2×3 n 2 -1，n為偶數(shù)

．          …（6分）
（2）由（1），得S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=3ⁿ+n²-1，
S_2n-1=S_2n-a_2n=3ⁿ+n²-1-2×3^n-1=3^n-1+n²-1．        …（8分）
所以，若存在正整數(shù)m、n，使得S_2n=mS_2n-1，則m=

S2n

S2n-1

=1+

2×3n-1

3n-1+n2-1

≤1+

2×3n-1

3n-1

=3． …（9分）
顯然，當(dāng)m=1時(shí)，S_2n=3ⁿ+n²-1≠1×3^n-1+n²-1=S_2n-1；
當(dāng)m=2時(shí)，由S_2n=2S_2n-1，整理得3^n-1=n²-1．
顯然，當(dāng)n=1時(shí)，3^1-1≠1²-1；
當(dāng)n=2時(shí)，3^2-1=2²-1，
所以（2，2）是符合條件的一個(gè)解．                  …（11分）
當(dāng)n≥3時(shí)，3n-1=(1+2)n-1≥1+

2C

1 n-1

+4

C

2 n-1

=2n²-4n+3=（n-2）²+n²-1＞n²-1．       …（12分）
當(dāng)m=3時(shí)，由S_2n=3S_2n-1，整理得n=1，
所以（3，1）是符合條件的另一個(gè)解．
綜上所述，所有的符合條件的正整數(shù)對(duì)（m，n），有且僅有（3，1）和（2，2）兩對(duì)． …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查存在性問(wèn)題的探究，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．