Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 公差d≠0，且S3+S5=50，a1 ， a4 ， a13成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足 + +…+ =an﹣1（n∈N*），求數(shù)列{nbn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意得，

解得 ，

∴an=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1

（2）解：由（1）得， ，

當(dāng)n≥2時(shí)， ，

兩式相減得， ，則bn=23n（n≥2）

當(dāng)n=1時(shí)滿足上式，

所以bn=23n（n∈N*），∴nbn=2n3n（n∈N*），

Tn=231+432+633+…+2n3n，

∴3Tn=232+433+634+…+2n3n+1，

兩式相減得，﹣2Tn=231+232+233+…+23n﹣2n3n+1

=2（31+32+33+…+3n）﹣2n3n+1

= ﹣2n3n+1=（1﹣2n）3n+1﹣3

∴Tn= ．

【解析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程組，求出a1、d的值，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出an；（2）由（1）化簡(jiǎn)已知的式子，令n取n﹣1代入化簡(jiǎn)得到另外一個(gè)式子，兩個(gè)式子相減后求出bn ， 代入nbn化簡(jiǎn)，利用錯(cuò)位相減法和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出Tn ．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．