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已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F作C的兩條互相垂直的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M、N．

(Ⅰ)證明直線MN必過定點，并求出這點的坐標；

(Ⅱ)分別以AB、CD為直徑作圓，求兩圓相交弦的中點H的軌跡方程．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)設直線AB：，

　　代入得：，　　2分

　　∴，，故．　　3分

　　因為，所以將點坐標中的換成，得．　　4分

　　因此直線MN：，整理得．

　　故不論為何值，直線必過定點．　　6分

　　(Ⅱ)因為、都與拋物線的準線相切，半徑分別為，從而

　　，

　　．　　8分

　　兩式相減并整理，得公共弦所在直線方程為：

　　，　　9分

　　又，

　　故公共弦所在直線過原點，所以．

　　所以，點的軌跡方程是以為直徑的圓(除取直徑的兩個端點)，

　　其軌跡方程為．　　12分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2013年普通高等學校招生全國統一考試大綱卷理數 題型：013

已知拋物線C：y2＝8x與點M(－2，2)，過C的焦點，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若·＝0，則k＝

[　　]

A．

B．

C．

D．2

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科目：高中數學 來源：湖北省武漢市武昌區(qū)2012屆高三5月調研考試數學理科試題 題型：044

如圖，已知拋物線C：y2＝4x，過點A(1，2)作拋物線C的弦AP，AQ．

(Ⅰ)若AP⊥AQ，證明直線PQ過定點，并求出定點的坐標；

(Ⅱ)假設直線PQ過點T(5，－2)，請問是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的個數？如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山西省平遙縣高三4月質檢理科數學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩點，則cos∠AFB＝(　 　)

A.         B.           C．－       D．－

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點A(1，－2)．

(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；

(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于？若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由．

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