Question

已知向量

p

=(a-3，x)，

q

=(x+a，x)，f(x)=

p

•

q

，且m，n是方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)根，
（1）設(shè)g（a）=m³+n³+a³，求g（a）的最小值；
（2）若不等式lnx-

b

x

＜x2在x∈[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）對(duì)于（1）中的函數(shù)y=g（a），給定函數(shù)h（x）=c（xlnx-x³），（c＜0），若對(duì)任意的x₀∈[2，3]，總存在x₁∈[1，2]，使得g（x₀）=h（x₁），求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a有兩個(gè)實(shí)根，得到△≥0，解得a∈[-1，3]，又由題意

m+n=3-a mn=a2-3a

從而g（a）=m³+n³+a³=（m+n）[（m+n）²-3mn]+a³=3a³-9a²+27，a∈[-1，3]利用導(dǎo)數(shù)即可求得最小值為15．
（2）先將不等式lnx-

b

x

＜x2在x∈[1，+

∞

)上恒成立，轉(zhuǎn)化為x2-lnx+

b

x

＞0恒成立，即b＞x（lnx-x²），構(gòu)造令h（x）=x（lnx-x²），x∈[1，+∞）可得h'（x）=1+lnx-3x²，h′′（x）=

1

x

-6x，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，及判斷出函數(shù)h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得到答案．
（3）由（1）和（2）的結(jié)論，我們易求出函數(shù)y=g（a）在區(qū)間[2，3]上的值域，及函數(shù)h（x）=c（xlnx-x³）在[1，2]的上的值域，再結(jié)合對(duì)任意的x₀∈[2，3]，總存在x₁∈[1，2]，使得g（x₀）=h（x₁），構(gòu)造關(guān)于c的不等式組，解不等式組即可得到答案．

解答：解：（1）f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a有兩個(gè)實(shí)根，
所以△≥0，解得a∈[-1，3]
由題意

m+n=3-a mn=a2-3a

g（a）=m³+n³+a³=（m+n）[（m+n）²-3mn]+a³=3a³-9a²+27，a∈[-1，3]
g′（a）=9a（a-2）=0，解得a=0或2
g（0）=g（3）=27，g（-1）=g（2）=15
所以最小值為15．
（2）若不等式lnx-

b

x

＜x2在x∈[1，+

∞

)上恒成立，即x2-lnx+

b

x

＞0恒成立，
解得b＞x（lnx-x²）
令h（x）=x（lnx-x²），x∈[1，+∞）
則h'（x）=1+lnx-3x²，x∈[1，+∞）
則h′′（x）=

1

x

-6x，x∈[1，+∞）
∵h(yuǎn)′′（x）=

1

x

-6x＜0在[1，+∞）恒成立
∴h'（x）=1+lnx-3x²，在區(qū)間[1，+∞）為減函數(shù)
則h'（x）≤h'（1）=-2＜0恒成立
∴h（x）=x（lnx-x²）在區(qū)間[1，+∞）遞減
則h（x）≤h（1）=-1
故b＞-1
（3）由（1）得對(duì)任意的x₀∈[2，3]，g（x₀）∈[15，27]
由（2）得函數(shù)h（x）=c（xlnx-x³），（c＜0），在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞增
則h（1）=-c≤h（x）≤h（2）=c（2ln2-8）
若對(duì)任意的x₀∈[2，3]，總存在x₁∈[1，2]，使得g（x₀）=h（x₁），
則-c≤15且c（2ln2-8）≥27
解得：-15≤c≤

27

2ln2-8

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．