Question

下列四個(gè)命題
①若{a_n} 是等差數(shù)列，則2a_n+1=a_n+a_n+2 對一切n∈N^* 成立
②數(shù)列{a_n} 滿足：an=

1 2n ，n為奇數(shù) 1 3n ，n為偶數(shù)

，則

lim

n→∞

an 存在；
③設(shè){a_n} 是等比數(shù)列，則“a₁＜a₂＜a₃”是“數(shù)列{a_n} 是遞增數(shù)列”的充要條件；
④若數(shù)列{a_n} 的前n 項(xiàng)和S_n=ka_n+1（k≠0，k≠1），則{a_n} 是等比數(shù)列．
其中正確的序號是

①②③④

．

Answer 1

分析：①根據(jù)等差中項(xiàng)的定義可判斷
②數(shù)列{a_n} 滿足：an=

1 2n ，n為奇數(shù) 1 3n ，n為偶數(shù)

，則

lim

n→∞

an=0
③根據(jù)遞增數(shù)列的定義可判斷
④利用a₁=s₁=k+1，n≥2，a_n=S_n-S_n-1=ka_n-ka_n-1，可判斷

解答：解：①根據(jù)等差中項(xiàng)的定義可知，若{a_n} 是等差數(shù)列，則a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，則有2a_n+1=a_n+a_n+2 成立，正確
②數(shù)列{a_n} 滿足：an=

1 2n ，n為奇數(shù) 1 3n ，n為偶數(shù)

，則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

1

2n

=0；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

1

3n

=0，則當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，

lim

n→∞

an=0，正確
③若a₁＜a₂＜a₃”，則a1＜a1q＜a1q2，若a₁＞0，則q＞1；若a₁＜0，則0＜q＜1，則根據(jù)遞增數(shù)列的定義可知③正確
④若數(shù)列{a_n} 的前n 項(xiàng)和S_n=ka_n+1（k≠0，k≠1），則a₁=s₁=k+1；n≥2，a_n=S_n-S_n-1=ka_n-ka_n-1，則（k-1）a_n=ka_n-1，即

an

an-1

=

k

k-1

，則{a_n} 是等比數(shù)列．正確
故答案為①②③④

點(diǎn)評：本題主要考查了命題的真假判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識及基本方法，并能靈活應(yīng)用．