Question

已知雙曲線：和圓：（其中原點(diǎn)為圓心），過雙曲線上一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、．
（1）若雙曲線上存在點(diǎn)，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；
（2）求直線的方程；
（3）求三角形面積的最大值．

Answer 1

（本小題主要考查圓、雙曲線、直線方程和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，以及分類討論思想與創(chuàng)新意識(shí)等．）
解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175134350498.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以．   1分
由及圓的性質(zhì)，可知四邊形是正方形，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175134475731.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以．3分
故雙曲線離心率的取值范圍為．                      4分
（2）方法1：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231751347091027.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為．   5分
因?yàn)閳A與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，                 6分
所以聯(lián)立方程組                  7分
消去，，即得直線的方程為．                  8分
方法2：設(shè)，已知點(diǎn)，
則，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175135317491.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即．                5分

整理得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175135411634.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．                       6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175135458505.png" style="vertical-align:middle;" />，，根據(jù)平面幾何知識(shí)可知，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175135505700.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．                           7分
所以直線方程為．
即．
所以直線的方程為．                        8分
方法3：設(shè)，已知點(diǎn)，
則，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175135317491.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即．                5分
整理得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175135411634.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．  6分
這說明點(diǎn)在直線上．    7分
同理點(diǎn)也在直線上．
所以就是直線的方程．  8分
（3）由（2）知，直線的方程為，
所以點(diǎn)到直線的距離為．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231751361602807.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以三角形的面積．              10分
以下給出求三角形的面積的三種方法：
方法1：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，
所以，即．
設(shè)，
所以．                                 11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231751368931223.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．              12分
當(dāng)，即時(shí)，，             13分
當(dāng)，即時(shí)，．
綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．   14分
方法2：設(shè)，則．                11分
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，即，即．
所以．
令，則．
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．             12分
當(dāng)，即時(shí)，，              13分
當(dāng)，即時(shí)，．
綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．   14分
方法3：設(shè)，則．             11分
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，即，即．
所以．
令，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．            12分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175139826402.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)．
13分
當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)．
綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．   14分

略