【題目】已知函數(shù),其中的導(dǎo)函數(shù),設(shè),且恒成立.

1)求的取值范圍;

2)設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為,函數(shù)的極小值點(diǎn)為,求證:.

【答案】1;(2)證明見解析

【解析】

1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得到,推出,求導(dǎo),得到,解對(duì)應(yīng)不等式,得到單調(diào)性,求出其最小值,再根據(jù)恒成立,即可得出結(jié)果;

2)先設(shè),求導(dǎo)得.

設(shè),對(duì)其求導(dǎo),判定單調(diào)性,從而得到函數(shù)單調(diào)性,得到是函數(shù)的極小值點(diǎn),得到,再由(1)得時(shí),,推出所以,得到,得到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,再由題意,即可得出結(jié)論成立.

1)由題設(shè)知,,

,,

,得,所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);

,得,所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).

處取得最小值,且.

由于恒成立,所以,得,

所以的取值范圍為;

2)設(shè),則.

設(shè),

,

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,由(1)知,,

所以,

故存在,使得,

所以,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,,函數(shù)單調(diào)遞增.

所以是函數(shù)的極小值點(diǎn).因此,即.

由(1)可知,當(dāng)時(shí),,即,整理得,

所以.

因此,即.

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

由于,即

,

所以.

又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.

1)設(shè),判斷上是否為有界函數(shù),若是,請(qǐng)說明理由,并寫出的所有上界的集合;若不是,也請(qǐng)說明理由;

2)若函數(shù)上是以為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為,曲線上的動(dòng)點(diǎn)P滿足.又曲線上的點(diǎn)A、B滿足.

1)求曲線的方程;

2)若點(diǎn)A在第一象限,且,求點(diǎn)A的坐標(biāo);

3)求證:原點(diǎn)到直線AB的距離為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】數(shù)列的前n項(xiàng)組成集合,從集合中任取個(gè)數(shù),其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為(若只取一個(gè)數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),例如:對(duì)于數(shù)列,當(dāng)時(shí),時(shí),;

1)若集合,求當(dāng)時(shí),的值;

2)若集合,證明:時(shí)集合時(shí)集合(為了以示區(qū)別,用表示)有關(guān)系式,其中;

3)對(duì)于(2)中集合.定義,求(用n表示).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,如圖放置的邊長(zhǎng)為的正方形沿軸滾動(dòng)(無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)),點(diǎn)恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是,則對(duì)函數(shù)的判斷正確的是( )

A.函數(shù)是奇函數(shù)B.對(duì)任意的,都有

C.函數(shù)的值域?yàn)?/span>D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】、是異面直線,則下列命題中的假命題為( 。

A.過直線可以作一個(gè)平面并且只可以作一個(gè)平面與直線平行

B.過直線至多可以作一個(gè)平面與直線垂直

C.唯一存在一個(gè)平面與直線、等距

D.可能存在平面與直線、都垂直

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,某人打算做一個(gè)正四棱錐形的金字塔模型,先用木料搭邊框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一條棱和邊都相等.

(1)求證:直線AC垂直于直線SD;

(2)若搭邊框共使用木料24米,則需要多少立方米的填充材料才能將整個(gè)金字塔內(nèi)部填滿?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知四棱錐的底面是菱形,,,邊的中點(diǎn),點(diǎn)在線段.

1)證明:平面平面;

2)若,平面,求四棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若數(shù)列中存在三項(xiàng),按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列,則稱等比源數(shù)列。

1)在無(wú)窮數(shù)列中,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)在(1)的結(jié)論下,試判斷數(shù)列是否為等比源數(shù)列,并證明你的結(jié)論;

3)已知無(wú)窮數(shù)列為等差數(shù)列,且,),求證:數(shù)列等比源數(shù)列”.

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