Question

已知動圓P過點F(0，

1

4

)且與直線y=-

1

4

相切．
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F作一條直線交軌跡C于A，B兩點，軌跡C在A，B兩點處的切線相交于點N，M為線段AB的中點，求證：MN⊥x軸．

Answer 1

分析：（1）因由直線與圓相切知：點P到定直線與到定點的距離相等，結合拋物線的定義即可知點P的軌跡從而求出方程C的方程．
（2）先利用導數求出直線AN，BN的斜率，進而求出直線AN，BN的方程，最后通過解方程求出點M的橫坐標，它正好等于M的橫坐標，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）根據拋物線的定義，
可得動圓圓心P的軌跡C的方程為x²=y（4分）
（Ⅱ）證明：設A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），∵y=x²，
∴y′=2x，∴AN，BN的斜率分別
為2x₁，2x₂，故AN的方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁），
BN的方程為y-x₂²=2x₂（x-x₂）（7分）
即

y=2x1x- x 2 1 y=2x2x- x 2 2

，兩式相減，得x=

x1+x2

2

，
∴M，N的橫坐標相等，于是MN⊥x軸（10分）

點評：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及轉化的能力，定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．