【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.
(1)當a=1時,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當a=1時,f(x)=﹣x2+x+4,是開口向下,對稱軸為x= 的二次函數(shù),

g(x)=|x+1|+|x﹣1|= ,

當x∈(1,+∞)時,令﹣x2+x+4=2x,解得x= ,g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,∴此時f(x)≥g(x)的解集為(1, ];

當x∈[﹣1,1]時,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2.

當x∈(﹣∞,﹣1)時,g(x)單調(diào)遞減,f(x)單調(diào)遞增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2.

綜上所述,f(x)≥g(x)的解集為[﹣1, ]


(2)解:依題意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,則只需 ,解得﹣1≤a≤1,

故a的取值范圍是[﹣1,1]


【解析】(1)當a=1時,f(x)=﹣x2+x+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|= ,分x>1、x∈[﹣1,1]、x∈(﹣∞,﹣1)三類討論,結(jié)合g(x)與f(x)的單調(diào)性質(zhì)即可求得f(x)≥g(x)的解集為[﹣1, ];(2)依題意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,只需 ,解之即可得a的取值范圍.

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