已知橢圓的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,直線y=2x+1與該橢圓相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=
1011
,求橢圓的方程.
分析:先設(shè)橢圓方程的方程,然后與直線方程聯(lián)立消去y,得到兩根之和、兩根之積的關(guān)系式,再由OP⊥OQ,|PQ|=
10
11
,可得到兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式,然后再與兩根之和、兩根之積的關(guān)系式聯(lián)立可求m,n的值,從而可確定橢圓方程.
解答:解析:設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1,(m>0,n>0),
依題意,點(diǎn)P(x1,y1)、Q(x2,y2)的坐標(biāo)滿足方程組
mx2+ny2=1
y=2x+1

解之并整理得(m+4n)x2+4nx+n-1=0
所以:x1+x2=-
4n
m+4n
,x1x2=
n-1
m+4n
        ①
由OP⊥OQ,
∴x1x2+y1y2=0
∴x1x2+(2x1+1)(2x2+1)=0,5x1x2+2(x1+x2)+1=0
∴5×
n-1
m+4n
+2×
-4n
m+4n
+1=0,∴m+n=5      ②
又由|PQ|=
10
11

∴|PQ|2=(x1-x22+(y1-y22=
100
121

∴(x1-x22+(2x1-2x22=
100
121
,
∴5(x1+x22-20x1x2=
100
121
,(x1+x22-4x1x2=
20
121
,③
由①②③可得:19n2-98n+120=0
∴n=2或n=
60
19
,m=3或m=
35
19

故所求橢圓方程為3x2+2y2=1,或
35x2
19
+
60y2
19
=1
點(diǎn)評:本題主要考查直線與橢圓的綜合題.直線與圓錐曲線的綜合題一般是將兩方程聯(lián)立消去x或y得到一元二次方程,然后表示出兩根之和、兩根之積,再由題中條件可解題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
2
2
,且橢圓經(jīng)過圓C:x2+y2-4x+2
2
y=0的圓心C.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l過橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的中心在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸,左焦點(diǎn)為F1(-3,0),右準(zhǔn)線方程為x=
253

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率e;
(2)設(shè)P為橢圓上第一象限的點(diǎn),F(xiàn)2為右焦點(diǎn),若△PF1F2為直角三角形,求△PF1F2的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的中心在原點(diǎn),且橢圓過點(diǎn)P(3,2),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,長軸長是短軸長的3倍,求橢圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的中心在原點(diǎn),一個焦點(diǎn)F1(0,-2
2
),且離心率e滿足:
2
3
,e,
4
3
成等比數(shù)列.
(1)求橢圓方程;
(2)直線y=x+1與橢圓交于點(diǎn)A,B.求△AOB的面積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案