在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是曲線.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2) 設(shè)直線:與曲線相交于、兩點(diǎn),已知圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和兩點(diǎn),求圓的方程,并判斷點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是否在圓上.
【解析】(1)由已知,即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到定直線的距離,∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線是頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為的拋物線和點(diǎn)
∴曲線的軌跡方程為和.
(2)由解得或
即,
設(shè)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)、的圓的方程為,
則,解得
∴圓的方程為 即
由上可知,過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為:
解方程組,得
即線段中點(diǎn)坐標(biāo)為
從而易得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為
把代入代入:
∴點(diǎn)不在圓上.
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