【題目】已知為坐標(biāo)原點,橢圓的焦距為,直線截圓與橢圓所得的弦長之比為,圓、橢圓與軸正半軸的交點分別為,.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(且)為橢圓上一點,點關(guān)于軸的對稱點為,直線,分別交軸于點,,證明:.
【答案】(1);(2)詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)焦距為,直線截圓與橢圓所得的弦長之比為,結(jié)合性質(zhì) ,列出關(guān)于 、 、的方程組,求出 、,即可得結(jié)果;(2)由(1)可知,點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,由直線的方程與直線的方程令,分別求得,,可證明,即,從而可得結(jié)論.
(1)根據(jù)題意可知,.
因為直線截橢圓所得的弦長為,
所以,化簡得.
所以,.
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)由(1)可知,點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為.
直線的方程為,令,得.
因為點關(guān)于軸的對稱點為,所以.
所以直線的方程為.
令,得.
因為,
而點在橢圓上,所以.即,所以,即,所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為萬元.該建筑物每年的能源消耗費用(單位:萬元)與隔熱層厚度(單位:厘米)滿足關(guān)系:.若不建隔熱層,每年的能源消耗費用為萬元.設(shè)為隔熱層建造費用與年的能源消耗費用之和.
(1)求的值及的表達式;
(2)隔熱層修建多厚時,總費用最小,并求其最小值.
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【題目】已知橢圓C:()的左、右焦點分別為,.橢圓C的長軸與焦距之比為,過的直線l與C交于A、B兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)l的斜率為1時,求的面積;
(3)當(dāng)線段的垂直平分線在y軸上的截距最小時,求直線l的方程.
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【題目】某商場經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用的付款期數(shù)的分布列為
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
0.2 | 0.3 | 0.3 | 0.1 | 0.1 |
商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為300元;分4期或5期付款,其利潤為400元,表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.
(1)求事件:“購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用期付款”的概率;
(2)求的分布列、期望和方差.
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,滿足且,數(shù)列的前項為,滿足
(Ⅰ)設(shè),求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅱ)求的通項公式;
(Ⅲ)若對任意的恒成立,求實數(shù)的最大值.
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【題目】為改善居民的生活環(huán)境,政府?dāng)M將一公園進行改造擴建.已知原公園是直徑為200 m的半圓形,出入口在圓心O處,A為居民小區(qū),OA的距離為200 m,按照設(shè)計要求,以居民小區(qū)A和圓弧上點B的連線為一條邊向半圓外作等腰直角三角形ABC(C為直角頂點),使改造后的公園如圖中四邊形OACB所示.
(1)若,則C與出入口O之間的距離為多少米?
(2)的大小為多少時,公園OACB的面積最大?
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【題目】已知橢圓:在軸上的一個焦點,與短軸兩個端點的連線互相垂直,且右焦點坐標(biāo)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與圓相切,和橢圓交于,兩點,為原點,線段,分別和圓交于,兩點,設(shè),的面積分別為,,求的取值范圍.
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【題目】在某超市,隨機調(diào)查了100名顧客購物時使用手機支付的情況,得到如下的列聯(lián)表,已知從其中使用手機支付的人群中隨機抽取1人,抽到青年的概率為.
青年 | 中老年 | 合計 | |
使用手機支付 | 60 | ||
不使用手機支付 | 28 | ||
合計 | 100 |
(1)根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表,并根據(jù)此資料判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“超市購物用手機支付與年齡有關(guān)”.
(2)現(xiàn)按照“使用手機支付”和“不使用手機支付”進行分層抽樣,從這100名顧客中抽取容量為5的樣本,求“從樣本中任選3人,則3人中至少2人使用手機支付”的概率.
(其中 )
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