Question

設(shè)函數(shù)，其中a為常數(shù)．
（1）證明：對任意a∈R，y=f（x）的圖象恒過定點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=-1時，判斷函數(shù)y=f（x）是否存在極值？若存在，證明你的結(jié)論并求出所有極值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把f（x）代入到F（x）中化簡得到F（x）的解析式求出F（x）的最小值即可；
（2）把a(bǔ)=-1代入得f（x）的解析式，求出f′（x）=0時x=1，因?yàn)閤大于0，所以在（0，1）和（1，+∞）上討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極小值為f（1）．
解答：解：（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
所以y=f（x）的圖象恒過定點(diǎn)（1，1）；
（2）當(dāng)a=-1時，，
x＞0=
經(jīng)觀察得f′（x）=0有根x=1
令g（x）=x²+lnx-1，
當(dāng)x＞0時，g′（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
所以f′（x）=0有唯一根x=1．
當(dāng)x∈（0，1）時，，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
所以x=1是f（x）的唯一極小值點(diǎn)．極小值是．
點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力．