Question

已知函數(shù).（）

（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；

（2）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)的圖象恒在直線下方，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，；

對(duì)于[1，e]，有，∴在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，

∴，.

（Ⅱ）令，則的定義域?yàn)椋?，+∞）.

在區(qū)間（1，+∞）上函數(shù)的圖象恒在直線下方等價(jià)于在區(qū)間（1，+∞）上恒成立. 

∵

① 若，令，得極值點(diǎn)，，

當(dāng)，即時(shí)，在（，+∞)上有，

此時(shí)在區(qū)間(，+∞)上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有

∈(，+∞)，不合題意；

當(dāng)，即時(shí)，同理可知，在區(qū)間(1，+∞)上，有

∈(，+∞)，也不合題意；

② 若，則有，此時(shí)在區(qū)間(1，+∞)上恒有，

從而在區(qū)間(1，+∞)上是減函數(shù)；

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿(mǎn)足，

由此求得的范圍是[，].

綜合①②可知，當(dāng)∈[，]時(shí)，

函數(shù)的圖象恒在直線下方.

解析:

⑴當(dāng)時(shí)，，求其在給定區(qū)間上的最值，可以借助導(dǎo)數(shù)解決；⑵函數(shù)的圖象在直線的下方，說(shuō)明在給定區(qū)間上恒成立，恒成立問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)解決，再次利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算求值.