【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)﹣x,a∈R.
(1)當a=﹣1時,求f(x)的單調區(qū)間;
(2)若x≥1時,不等式ef(x)+ x2>1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:當a=﹣1時,f(x)=ln(x﹣1)﹣x,x>1,
f′(x)= ﹣1= ,
當1<x<2時,f′(x)>0,f(x)遞增,
當x>2時,f′(x)<0,f(x)遞減,
故f(x)在(1,2)遞增,在(2,+∞)遞減
(2)解:由題意得:x≥1時,x+a>0恒成立,故a>﹣1,①,
不等式ef(x)+ x2>1恒成立,
即 x2+ ﹣1>0對任意的x≥1恒成立,
設g(x)= x2+ ﹣1,x≥1,
g′(x)= ,
a≤0時,g(2)=a(2+ )﹣1+ <0,不合題意,
a>0時,要使x≥1時,不等式ef(x)+ x2>1恒成立,
只需g(1)=a( + )﹣1+ >0,即a> ,
a> 時,aexx﹣x+1﹣a=a(exx﹣1)+1﹣x> (exx﹣1)+1﹣x,
設h(x)= (exx﹣1)+1﹣x,x≥1,
h′(x)= exx+ ex﹣1,x≥1,
顯然h′(x)在(1,+∞)遞增,∴h′(x)>h′(1)= >0,
∴h(x)在(1,+∞)遞增,h(x)>h(1)= >0,
即aexx﹣x+1﹣a>0,②,
由①②得:a> 時,滿足題意
【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調區(qū)間即可;(2)問題轉化為 x2+ ﹣1>0對任意的x≥1恒成立,設g(x)= x2+ ﹣1,x≥1,通過求導得到g(x)的單調性,從而求出a的范圍即可.
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為響應“精確扶貧”號召,某企業(yè)計劃每年用不超過100萬元的資金購買單價分別為1500元/箱和3000元/箱的A、B兩種藥品捐獻給貧困地區(qū)某醫(yī)院,其中A藥品至少100箱,B藥品箱數(shù)不少于A藥品箱數(shù).則該企業(yè)捐獻給醫(yī)院的兩種藥品總箱數(shù)最多可為( )
A.200
B.350
C.400
D.500
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】△ABC在內角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若b=2,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,P為A1D1的中點,Q為A1B1上任意一點,E,F(xiàn)為CD上任意兩點,且EF的長為定值,則下面的四個值中不為定值的是( )
A.點Q到平面PEF的距離
B.直線PE與平面QEF所成的角
C.三棱錐P﹣QEF的體積
D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準(噸)、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費,超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中a的值;
(Ⅱ)設該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;
(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準(噸),估計的值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù)f(x)=atanx+bx3+cx(a、b、c∈R),選取a、b、c的一組值計算f(1)、f(﹣1),所得出的正確結果可能是( )
A.2和1
B.2和0
C.2和﹣1
D.2和﹣2
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