【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)﹣x,a∈R.
(1)當a=﹣1時,求f(x)的單調區(qū)間;
(2)若x≥1時,不等式efx+ x2>1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當a=﹣1時,f(x)=ln(x﹣1)﹣x,x>1,

f′(x)= ﹣1=

當1<x<2時,f′(x)>0,f(x)遞增,

當x>2時,f′(x)<0,f(x)遞減,

故f(x)在(1,2)遞增,在(2,+∞)遞減


(2)解:由題意得:x≥1時,x+a>0恒成立,故a>﹣1,①,

不等式efx+ x2>1恒成立,

x2+ ﹣1>0對任意的x≥1恒成立,

設g(x)= x2+ ﹣1,x≥1,

g′(x)= ,

a≤0時,g(2)=a(2+ )﹣1+ <0,不合題意,

a>0時,要使x≥1時,不等式efx+ x2>1恒成立,

只需g(1)=a( + )﹣1+ >0,即a> ,

a> 時,aexx﹣x+1﹣a=a(exx﹣1)+1﹣x> (exx﹣1)+1﹣x,

設h(x)= (exx﹣1)+1﹣x,x≥1,

h′(x)= exx+ ex﹣1,x≥1,

顯然h′(x)在(1,+∞)遞增,∴h′(x)>h′(1)= >0,

∴h(x)在(1,+∞)遞增,h(x)>h(1)= >0,

即aexx﹣x+1﹣a>0,②,

由①②得:a> 時,滿足題意


【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調區(qū)間即可;(2)問題轉化為 x2+ ﹣1>0對任意的x≥1恒成立,設g(x)= x2+ ﹣1,x≥1,通過求導得到g(x)的單調性,從而求出a的范圍即可.
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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