Question

（19）如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)。

       （I）證明：ED為異面直線與的公垂線；

       （II）設(shè)求二面角的大小。

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）設(shè)O為AC中點(diǎn)，連結(jié)EO，BO，則EO又，所以EODB，

EOBD為平行四邊行，ED∥OB。                            

∵AB=BC，∴RO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BO面ABC，故BO⊥平面ACC₁A₁，

∴ED⊥平面ACC₁A₁，ED⊥AC₁、ED⊥CC₁，

∴ED⊥BB₁，ED為異面直線AC₁與BB₁的公垂線。        

 

（Ⅱ）連結(jié)A₁E，由AA₁=AC=AB可知，A₁ACC₁為正方形，

∴A₁E⊥AC₁，又由ED⊥平面A₁ACC₁和ED平面ADC₁知平面ADC₁⊥平面A₁ACC₁，

∴A₁E⊥平面ADC_1，作EF⊥AD，垂足為F，連結(jié)A₁F，則A₁F⊥AD,∠A₁FE為二面角的平面角。

不妨設(shè)AA₁=2，

則AC=2，AB=，ED=OB=1，EF=，

∴∠A₁EF=60^O。

所以二面角為60^O。                                    

      

解法二：

（Ⅰ）如圖，建立直角坐標(biāo)系O-xyz，其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)。

設(shè)A（a,0,0）,B(0,b,0),B₁(0,b,2c).

則C（ 

又        

所以ED是異面直線BB₁與AC₁的公垂線。       

 

（Ⅱ）不妨設(shè)A（1，0，0）

則B（0，1，0），C（-1，0，0），A（1，0，2），

          

∴         BC⊥面A₁AD.

又        

∴         EC⊥面C₁AD. 

                                         

          的夾角為60⁰

           

所以二面角為60°。