Question

（本小題滿分14分）

如圖，在長方體中，，．

   （1）證明：當點在棱上移動時，；

   （2）在棱上是否存在點，使二面角的平面角

為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  見解析  (Ⅱ)  

解析:

方法1：以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．………1分

設．……………2分

（1）證明： ∵，．

則，∴，即…4分

（2）解：當時，二面角的平面角為．…5分

∵，，……6分

設平面的法向量為，

則，……8分

取，則是平面的一個法向量．…9分

而平面的一個法向量為，   ……10分

要使二面角的平面角為，

則，……12分

解得．

∴當時，二面角的平面角為．………14分

方法2：

（1）證明：連結，在長方體中，

∵平面，平面，∴．……1分

∵，則四邊形是正方形，∴．……2分

∵，∴平面．………3分

∵平面，∴．……4分

（2）解：當時，二面角的平面角為．  ……5分

連結，過作交于點，連結．…………6分

在長方體中，平面，平面，

∴．……7分∵，∴平面．……8分

∵平面，∴．……………9分

∴為二面角的平面角，即．…………10分

設，則，進而．……11分

在△中，利用面積相等的關系有，，

∴．   ……12分

在△中，∵，∴．  ………13分

∴，解得．

故當時，二面角的平面角為．……14分