Question

【題目】已知、是定義在實數(shù)集上的實值函數(shù)，如果存在，使得對任何，都有，那么稱比高興，如果對任何，都存在，使得，那么稱比幸運，對于實數(shù)和上述函數(shù)，定義.

（1）①，，判斷是否比高興？

②，，判斷是否比幸運？

（2）判斷下列命題是否正確？并說明理由：

①如果比高興，比高興，那么比高興；

②如果比幸運，比幸運，那么比幸運；

（3）證明：對每個函數(shù)，均存在函數(shù)，使得對任何實數(shù)，都比幸運，也比幸運.

Answer 1

【答案】（1）①比高興；②比幸運；（2）①正確；②不正確；（3）證明見解析.

【解析】

(1)直接根據(jù)高興和幸運的定義求解判斷即可.
(2)①根據(jù)高興的定義,分別取存在分別滿足比高興與比高興,再取的較大值進行證明即可.

②由題可直接舉出帶有周期性的函數(shù)反例正余弦函數(shù)即可.

(3)由題意知存在對任何,都存在,使得.且對每個函數(shù),均存在函數(shù),使得對任何實數(shù),都比幸運,也比幸運,故對任何,都存在,使得與.故可以考慮構造特殊函數(shù)等于加減一個能消除任意實數(shù)的影響的函數(shù)來證明.

(1)①由,,當時,,解得或.

故存在,使得對任何,都有,即比高興
②由題意,對任何,都存在為有理數(shù).此時,又,此時為無理數(shù),故,此時有,故.

故滿足對任何,都存在,使得.故比幸運.

(2)①由題得, 存在,使得對任何,都有,同時

存在,使得對任何,都有.

取,則對任何,都有,

且對任何,都有.

即存在,對任何,都有,即比高興.

故①正確.

②由題,令,

此時對任何,都存在,

此時,滿足,故比幸運.

又對任何,都存在,

此時,滿足,故比幸運.

但恒成立.故不存在成立.

故不比幸運.故②不正確.

(3)令函數(shù) .

顯然則滿足比幸運.故設

下證明函數(shù)滿足對任何實數(shù),都比幸運,也比幸運.

1.對任意與實數(shù) ,取.

則取任意有存在,

使得,

即.即比幸運.

2. 對任意與實數(shù) ,取,顯然

則取任意有存在,

使得

即.即比幸運.

故對每個函數(shù),均存在函數(shù),使得對任何實數(shù),都比幸運,也比幸運.