Question

設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，且f（-1）=0，則不等式x[f（x）+f（-x）]＜0的解集為

（-1，0）∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：根據(jù)偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相反，結(jié)合已知可判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而判斷出各區(qū)間上函數(shù)值的符號(hào)，進(jìn)而求出不等式x[f（x）+f（-x）]＜0的解集．

解答：解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
又∵f（-1）=0，
∴f（1）=0，
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，-x∈（1，+∞），此時(shí)f（x）+f（-x）＜0，x[f（x）+f（-x）]＞0
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，-x∈（0，1），此時(shí)f（x）+f（-x）＞0，x[f（x）+f（-x）]＜0
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，-x∈（-1，0），此時(shí)f（x）+f（-x）＞0，x[f（x）+f（-x）]＞0
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，-x∈（-∞，-1），此時(shí)f（x）+f（-x）＜0，x[f（x）+f（-x）]＜0
綜上不等式x[f（x）+f（-x）]＜0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相反，判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，是解答的關(guān)鍵．