Question

已知p：函數(shù)f(x)=lg(ax2-x+

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a)的定義域為R；q：函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+2在（1，+∞）單調遞增，如果命題p∨q為真命題，命題p∧q為假命題，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：分別求出命題p，q成立的等價條件，根據(jù)命題p∨q為真命題，命題p∧q為假命題，確定實數(shù)a的范圍即可．

解答：解：若函數(shù)f(x)=lg(ax2-x+

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a)的定義域為R，
則ax2-x+

1

16

a＞0恒成立．
若a=0，則-x＞0，即x＜0，不滿足條件．
若a≠0，要使不等式恒成立，則

a＞0 △=1-4a• 1 16 a＜0

，
即

a＞0 a2＞4

，解a＞2．
即：p：a＞2．
函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+2的導數(shù)為f'（x）=3x²+2ax+1，
要使函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+2在（1，+∞）單調遞增，
則f'（x）=3x²+2ax+1≥0在（1，+∞）上恒成立．
即a≥

-1-3x2

2x

=-(

1

2x

+

3x

2

)，
∵

1

2x

+

3x

2

在（1，+∞）上單調遞增，
∴

1

2x

+

3x

2

＞

1

2

+

3

2

=2，
∴-（

1

2x

+

3x

2

）＜-2，即a≥-2．
∴q：a≥-2．
若命題p∨q為真命題，命題p∧q為假命題，
則p與q一真一假，
若p真q假時，則a∈∅，
若p假q真時，

a≥-2 a≤2

，解得a∈[-2，2]
綜上所述，a∈[-2，2]．

點評：本題考查復合命題與簡單命題真假之間的關系，先將命題p，q進行等價轉化是解決本題的關鍵．