Question

已知點(diǎn)A（1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩焦點(diǎn)，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）求過A（1，1）與橢圓相切的直線方程；
（III）設(shè)點(diǎn)C、D是橢圓上兩點(diǎn)，直線AC、AD的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由．

Answer 1

（I）由橢圓定義知：2a=4，∴a=2，∴

x2

4

+

y2

b2

=1
把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1，∴b2=

4

3

，∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

4 3

=1
（II）過A（1，1）點(diǎn)與橢圓相切的切線方程為：

x×1

4

+

y×1

4 3

=1
即：x+3y-4=0
（III）設(shè)AC方程為：y=k（x-1）+1與橢圓方程聯(lián)立，消去y得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
∵點(diǎn)A（1，1）在橢圓上，方程有一個(gè)根為x_A=1，∴xC=

3k2-6k-1

3k2+1

∵直線AC、AD傾斜角互補(bǔ)，∴AD的方程為y=-k（x-1）+1
同理xD=

3k2+6k-1

3k2+1

，又
y_C=k（x_C-1）+1，y_D=-k（x_D-1）+1，
y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2K
∴kCD=

1

3

，即直線CD的斜率為定值

1

3