本試題主要是考查了函數與方程的思想的綜合運用。
(1)
,
+3即
,對于定義域分段討論得到解的情況。
(2)因為
是定義域(0,2)上的單調函數,結合函數與圖像的關系式得到結論。
(3)關于x的方程
在(0,2)上有兩個不同的解
,那么借助于圖像得到結論。
解(1)
,
+3即
當
時,
,此時該方程無解. ……1分
當
時,
,原方程等價于:
此時該方程的解為
.
綜上可知:方程
+3在(0,2)上的解為
.……3分
(2)
,
………4分
,…………5分
可得:若
是單調遞增函數,則
…6分
若
是單調遞減函數,則
,………7分
綜上可知:
是單調函數時
的取值范圍為
.…8分
(2)[解法一]:當
時,
,①
當
時,
,②
若k=0則①無解,②的解為
故
不合題意!9分
若
則①的解為
,
(Ⅰ)當
時,
時,方程②中
故方程②中一根在(1,2)內另一根不在(1,2)內,…………10分
設
,而
則
又
,故
,………11分
(Ⅱ)當
時,即
或
0時,方程②在(1,2)須有兩個不同解,12分
而
,知方程②必有負根,不合題意!13分
綜上所述,
………14分
[略解法二]
,………9分
,
………10分
分析函數的單調性及其取值情況易得解(用圖象法做,必須畫出草圖,再用必要文字說明)……………13分
利用該分段函數的圖象得
……………………14分