【題目】已知等差數(shù)列的前項和為,,,數(shù)列滿足:,.
(1)求;
(2)求數(shù)列的通項公式及其前項和;
(3)記集合,若的子集個數(shù)為32,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
(1)根據(jù)條件列關(guān)于首項與公差的方程組,再代入等差數(shù)列前n項和公式即可,(2)根據(jù)疊乘法可得,再根據(jù)錯位相減法求和,(3)先確定中的元素個數(shù),再化簡不等式并分離變量,轉(zhuǎn)化研究對應(yīng)數(shù)列單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性確定結(jié)果.
(1)設(shè)數(shù)列的公差為,則,解得 ,所以.
(2)由題意得,
當(dāng)時, ,
又也滿足上式,故,
故 ①
②
① ②,得
故.
(3)由題意得,由(1)(2)知:,
令 .
則,,,,,,
因為.
所以當(dāng)時,,.
因為集合的子集個數(shù)為32,所以中的元素個數(shù)為5,
所以的解的個數(shù)為5,
因為,
故.
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【題目】如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分別為AC、DC的中點.
(1)求證:EF⊥BC;
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.
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【題目】已知函數(shù),其中函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸.
(1)確定與的關(guān)系;
(2)若,試討論函數(shù)的單調(diào)性.
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【題目】若函數(shù)f(x)=x2+ex﹣ (x<0)與g(x)=x2+ln(x+a)圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點,則a的取值范圍是( )
A.(﹣ )
B.( )
C.( )
D.( )
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【題目】如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= .
(1)求cos∠CAD的值;
(2)若cos∠BAD=﹣ ,sin∠CBA= ,求BC的長.
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【題目】一個包裝箱內(nèi)有6件產(chǎn)品,其中4件正品,2件次品.現(xiàn)隨機抽出兩件產(chǎn)品,
(1)求恰好有一件次品的概率.
(2)求都是正品的概率.
(3)求抽到次品的概率.
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【題目】函數(shù)的一段圖象過點,如圖所示.
(1)求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位,得函數(shù)的圖象,求的最大值,并求出此時自變量的集合,并寫出該函數(shù)的增區(qū)間.
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【題目】已知曲線C1的參數(shù)方程是(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=-2cosθ.
(1)寫出C1的極坐標(biāo)方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點M1、M2的極坐標(biāo)分別是(1,π)、(2,),直線M1M2與曲線C2相交于P、Q兩點,射線OP與曲線C1相交于點A,射線OQ與曲線C1相交于點B,求的值.
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【題目】已知點A(0,﹣2),橢圓E: + =1(a>b>0)的離心率為 ,F(xiàn)是橢圓的焦點,直線AF的斜率為 ,O為坐標(biāo)原點.
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過點A的直線l與E相交于P,Q兩點,當(dāng)△OPQ的面積最大時,求l的方程.
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