Question

某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x．已知年利潤(rùn)=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷售量．
（1）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；
（2）為使本年度的年利潤(rùn)比上年有所增加，問(wèn)投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

解：（1）由題意得
y=[1.2×（1+0.75x）-1×（1+x）]×1000×（1+0.6x）（0＜x＜1） （4分）
整理得y=-60x²+20x+200（0＜x＜1）．（6分）
（2）要保證本年度的利潤(rùn)比上年度有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)
即（9分）
解不等式得．
答：為保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應(yīng)滿足 0＜x＜0.33．（12分）
分析：（1）根據(jù)若每輛車投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x和年利潤(rùn)=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷售量．建立利潤(rùn)模型，要注意定義域．
（2）要保證本年度的利潤(rùn)比上年度有所增加，只需今年的利潤(rùn)減去的利潤(rùn)大于零即可，解不等式可求得結(jié)果，要注意比例的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式的性質(zhì)和解法等內(nèi)容，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．