Question

已知圓心C（1，2），且經(jīng)過點(diǎn)（0，1）
（Ⅰ）寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（2，-1）作圓C的切線，求切線的方程及切線的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出圓的半徑，即可寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）利用點(diǎn)斜式設(shè)出過點(diǎn)P（2，-1）作圓C的切線方程，通過圓心到切線的距離等于半徑，求出切線的斜率，然后求出方程，通過切線的長、半徑以及圓心與P點(diǎn)的距離滿足勾股定理，求出切線長．

解答：解（Ⅰ）∵圓心C（1，2），且經(jīng)過點(diǎn)（0，1）
圓C的半徑r=

(1-0)2+(2-1)2

=

2

，----------------------------------（2分）
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-1）²+（y-2）²=2，--------------------------------（4分）
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（2，-1）的切線方程為y+1=k（x-2），-----------------------（6分）
即kx-y-2k-1=0，有：

|-k-3|

1+k2

=

2

，-----------------------------------（8分）
∴k²-6k-7=0，解得k=7或k=-1，--------------------------------------（10分）
∴所求切線的方程為7x-y-15=0或x+y-1=0，----------------------------（12分）
由圓的性質(zhì)可知：PA=PB=

PC2-AC2

=

(2-1)2+(-1-2)2-2

=2

2

----------（14分）

點(diǎn)評：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，切線方程的應(yīng)用，勾股定理是求解切線長的有效方法，也可以求出一個切點(diǎn)坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間距離公式求解，考查計(jì)算能力．