如圖,直三棱柱A1B
(1)求 與平面A
(2)求二面角B—A1D—A的大;
(3)點(diǎn)F是線段AC的中點(diǎn),證明:EF⊥平面A1BD.
解:(1)連接A1C.∵A1B1C1-ABC為直三棱柱,∴CC1⊥底面ABC,∴CC1⊥BC.
∵AC⊥CB,∴BC⊥平面A1C1CA. ………………1分
∴為與平面A1C1CA所成角,
.
∴與平面A1C1CA所成角為. ………3分
(2)分別延長(zhǎng)AC,A1D交于G. 過C作CM⊥A1G 于M,連結(jié)BM,
∵BC⊥平面ACC?1A1,∴CM為BM在平面A1C1CA內(nèi)的射影,
∴BM⊥A1G,∴∠CMB為二面角B—A1D—A的平面角, ………………………5分
平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D為C1C的中點(diǎn),
∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,,. ……7分
即二面角B—A1D—A的大小為. ……………………8分
(3)證明:∵A1B1C1—ABC為直三棱柱,∴B1C1//BC,
∵由(Ⅰ)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA,
∵EF在平面A1C1CA內(nèi)的射影為C1F,∵F為AC中點(diǎn),
∴C1F⊥A1D,∴EF⊥A1D. ……………………11分
同理可證EF⊥BD,∴EF⊥平面A1BD. ……………………12分
解法二:
(1)同解法一……………………3分
(2)∵A1B1C1—ABC為直三棱柱,C1C=CB=CA=2,
AC⊥CB,D、E分別為C1C、B1C1的中點(diǎn).
建立如圖所示的坐標(biāo)系得:
C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),
C1(0,0,2), B1(2,0,2), A?1(0,2,2),
D(0,0,1), E(1,0,2). ………………6分
,設(shè)平面A1BD的法向量為,
. …………6分
平面ACC1A1?的法向量為=(1,0,0),. ………7分
即二面角B—A1D—A的大小為. …………………8分
(3)證明:∵F為AC的中點(diǎn),∴F(0,1,0),. ……10分
由(Ⅱ)知平面A1BD的一個(gè)法向量為,∴//n . ……11分
EF⊥平面A1BD. ………………………………12分
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