Question

（本小題滿分13分）

如圖1，在等腰梯形中，，，，為上一點(diǎn)， ，且．將梯形沿折成直二面角，如圖2所示．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)在所在平面內(nèi)，且直線與平面所成的角為，試求出點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離．

 

Answer 1

【答案】

(1)根據(jù)題意平幾知識(shí)易得 ，同時(shí) ，可知是二面角的平面角，從而得到證明。

(2)

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）在圖1中，由平幾知識(shí)易得，

在圖2中，∵，

∴是二面角的平面角，

∵二面角是直二面角，∴.

∵，平面，平面，

又平面，平面平面． 

（Ⅱ）由（Ⅰ）知兩兩互相垂直，

以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．…6分

則，，，，，,

，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即. 取，得.

設(shè)，則.

直線與平面所成的角為，

，

即，化簡(jiǎn)得，

從而有

，

所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.

即點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為．

考點(diǎn)：直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：本小題通過對(duì)基本知識(shí)的考查，培養(yǎng)空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想及應(yīng)用意識(shí)。