已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在橢圓 上,過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),拋物線在點(diǎn)處的切線分別為,且與交于點(diǎn).
(1) 求橢圓的方程;
(2) 是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在,指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)); 若不存在,說明理由.
(1). (2)滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).
【解析】
(1)試題分析:解法1:設(shè)橢圓的方程為,依題意:
解得: ∴ 橢圓的方程為.
解法2:設(shè)橢圓的方程為,根據(jù)橢圓的定義得,即, ∵, ∴. ∴ 橢圓的方程為.
(2) 解法1:顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,
由消去,得.
設(shè),則.
由,即得.
∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為,即.
∵, ∴.
同理,得拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為.
由解得
∴. ∵,
∴點(diǎn)在橢圓上. ∴.
化簡(jiǎn)得.(*) 由,
可得方程(*)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. ∴滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).
解法2:設(shè)點(diǎn),,,由,即得.
∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為,
即.∵, ∴ .
∵點(diǎn)在切線上, ∴. ①
同理, . ② 綜合①、②得,點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.∵經(jīng)過的直線是唯一的,∴直線的方程為,
∵點(diǎn)在直線上, ∴. ∴點(diǎn)的軌跡方程為.
若 ,則點(diǎn)在橢圓上,又在直線上,∵直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn),∴直線與橢圓交于兩點(diǎn).
∴滿足條件 的點(diǎn)有兩個(gè).
解法3:設(shè)點(diǎn),,則,,
∵三點(diǎn)共線, .
化簡(jiǎn)得:. ① 由,即得.
∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為,即. ②
同理,拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為 . ③
設(shè)點(diǎn),由②③得:,而,則 .
代入②得 , 則,代入 ① 得 ,
即點(diǎn)的軌跡方程為.若 ,則點(diǎn)在橢圓上,而點(diǎn)又在直線上,∵直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn),
∴直線與橢圓交于兩點(diǎn). ∴滿足條件 的點(diǎn)有兩個(gè).
考點(diǎn):本題考查了圓錐曲線的方程及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng):解答此類問題時(shí)注意若直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn),對(duì)待交點(diǎn)坐標(biāo)是“設(shè)而不求”的原則,要注意應(yīng)用韋達(dá)定理處理這類問題
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