【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,其焦距為,點E為橢圓的上頂點,且.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)圓的切線l交橢圓C于A,B兩點(O為坐標(biāo)原點),求證;
(3)在(2)的條件下,求的最大值.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1)由焦距可求出,由,可求出,,進而得到橢圓方程;
(2)當(dāng)切線與軸垂直時,求出焦點坐標(biāo),進而證得;當(dāng)切線與軸不垂直時,設(shè)切線方程,聯(lián)立切線方程與橢圓方程,列韋達定理,利用,即可證明;
(3)當(dāng)切線與軸垂直時,;當(dāng)切線與軸不垂直時,由、韋達定理以及弦長公式,可求出,借助基本不等式即可求出的最大值.
(1)由題意知,又,∴,∴,,
橢圓的方程為.
(2)(ⅰ)當(dāng)切線與軸垂直時,
交點坐標(biāo)為,,;
(ⅱ)當(dāng)切線與軸不垂直時,
設(shè)切線為,,,
由圓心到直線距離為,,
聯(lián)立直線方程與橢圓方程,得,
,,
,
.
(3)當(dāng)切線與軸垂直時,;
當(dāng)切線與軸不垂直時,由(2)知,,
∵,
令,則,
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,.
綜上所述,的最大值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年春節(jié)期間,全國人民都在抗擊“新型冠狀病毒肺炎”的斗爭中.當(dāng)時武漢多家醫(yī)院的醫(yī)用防護物資庫存不足,某醫(yī)院甚至面臨斷貨危機,南昌某生產(chǎn)商現(xiàn)有一批庫存的醫(yī)用防護物資,得知消息后,立即決定無償捐贈這批醫(yī)用防護物資,需要用A、B兩輛汽車把物資從南昌緊急運至武漢.已知從南昌到武漢有兩條合適路線選擇,且選擇兩條路線所用的時間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計2000輛汽車,通過這兩條路線從南昌到武漢所用時間的頻數(shù)分布表如下:
所用的時間(單位:小時) | ||||
路線1的頻數(shù) | 200 | 400 | 200 | 200 |
路線2的頻數(shù) | 100 | 400 | 400 | 100 |
假設(shè)汽車A只能在約定交貨時間的前5小時出發(fā),汽車B只能在約定交貨時間的前6小時出發(fā)(將頻率視為概率).為最大可能在約定時間送達這批物資,來確定這兩車的路線.
(1)汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的路線.
(2)若路線1、路線2的“一次性費用”分別為3.2萬元、1.6萬元,且每車醫(yī)用物資生產(chǎn)成本為40萬元(其他費用忽略不計),以上費用均由生產(chǎn)商承擔(dān),作為援助金額的一部分.根據(jù)這兩輛車到達時間分別計分,具體規(guī)則如下(已知兩輛車到達時間相互獨立,互不影響):
到達時間與約定時間的差x(單位:小時) | |||
該車得分 | 0 | 1 | 2 |
生產(chǎn)商準(zhǔn)備根據(jù)運輸車得分情況給出現(xiàn)金排款,兩車得分和為0,捐款40萬元,兩車得分和每增加1分,捐款增加20萬元,若汽車A、B用(1)中所選的路線運輸物資,記該生產(chǎn)商在此次援助活動中援助總額為Y(萬元),求隨機變量Y的期望值,(援助總額一次性費用生產(chǎn)成本現(xiàn)金捐款總額)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,圖中直棱柱的底面是菱形,其中.又點分別在棱上運動,且滿足:,.
(1)求證:四點共面,并證明∥平面.
(2)是否存在點使得二面角的余弦值為?如果存在,求出的長;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三男生體育課上做投籃球游戲,兩人一組,每輪游戲中,每小組兩人每人投籃兩次,投籃投進的次數(shù)之和不少于次稱為“優(yōu)秀小組”.小明與小亮同一小組,小明、小亮投籃投進的概率分別為.
(1)若,,則在第一輪游戲他們獲“優(yōu)秀小組”的概率;
(2)若則游戲中小明小亮小組要想獲得“優(yōu)秀小組”次數(shù)為次,則理論上至少要進行多少輪游戲才行?并求此時的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為,橢圓的一個焦點為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,為橢圓上的兩個動點,直線,的斜率分別為,,當(dāng)時,的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不為定值,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點,且與圓相切.
(1)求的值;
(2)動點在拋物線的準(zhǔn)線上,動點在上,若在點處的切線交軸于點,設(shè).求證點在定直線上,并求該定直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)當(dāng)a=-1時,
①求曲線y= f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
②求函數(shù)f(x)的最小值;
(II)求證:當(dāng)時,曲線與有且只有一個交點.
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