Question

【題目】已知橢圓 經(jīng)過點(diǎn) ，其離心率 .
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線 與橢圓 相切，切點(diǎn)為 ，且 與直線 相交于點(diǎn) ．
試問：在 軸上是否存在一定點(diǎn)，使得以 為直徑的圓恒過該定點(diǎn)？若存在，
求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)依題意，得 ．又 ，

在 中， ，所以 ．

所以橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．

(Ⅱ)設(shè) ， ，則 ， ．

因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓 上，所以 ．即 ．

又 ，所以直線 的方程為 ．

令 ，得 ．

又 ， 為線段 的中點(diǎn)，所以 ．

所以 ， ．

因?yàn)?

，

所以 ． ．

【解析】(1)根據(jù)題意可以知：將點(diǎn)代入橢圓的方程利用橢圓的離心率公式即可求得a和b的值，即可求得橢圓的方程。(2)將直線方程代入橢圓的方程由判別式等于零求得關(guān)于m的方程，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求T的坐標(biāo)聯(lián)立即可求出S點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求得以ST為直徑的圓恒過該定點(diǎn)（1,0）。