Question

已知a₁=1，點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+4x+2的圖象上，其中n=1，2，3，4，…
（1）證明：數(shù)列{lg（a_n+2）}是等比數(shù)列；
（2）設數(shù)列{a_n+2}的前n項積為T_n，求T_n及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）已知b_n是

1

an+1

與

1

an+3

的等差中項，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求證：

3

8

≤Sn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）點（a_n，a_n+1）代入函數(shù)關系式整理可得a_n+1+2=（a_n+2）²，兩邊取對數(shù)求得lg（a_n+1+2）=2lg（a_n+2）
判斷出{lg（a_n+2）}是等比數(shù)列．
（2）根據(jù)數(shù)列{lg（a_n+2）}的通項公式求得a_n，進而利用等比數(shù)列的求和公式求得lgT_n，進而求得T_n．
（3）根據(jù)題意知bn=

1

2

(

1

an+1

+

1

an+3

)整理求得S_n=

1

2

-

1

32n-1

，進而可判斷出S_n≥S₁同時利用

1

2

-

1

32n-1

＜

1

2

進而證明原式．

解答：（1）證明：由已知a_n+1=a_n²+4a_n+2，
∴a_n+1+2=（a_n+2）²
∵a₁=1?a_n+2＞1，兩邊取對數(shù)，得lg（a_n+1+2）=2lg（a_n+2）
∴{lg（a_n+2）}是等比數(shù)列，公比為2，首項為lg（a₁+2）=lg3
（2）解：由（1）得lg(an+2)=2n-1lg3=lg32n-1，
∴an=32n-1-2，
∵lgT_n=lg[（a₁+2）（a₂+2）（a_n+2）]=lg（a₁+2）+lg（a₂+2）+…+lg（a_n+2）=

(2n-1)lg3

2-1

=lg32n-1
∴Tn=32n-1
（3）解：
∵bn=

1

2

(

1

an+1

+

1

an+3

)=

1

2

(

1

32n-1-1

+

1

32n-1+1

)=

32n-1

32n-1

=

1

32n-1-1

-

1

32n-1

=

1

an+1

-

1

an+1+1

S_n=

1

a1+1

-

1

an+1+1

=

1

2

-

1

32n-1

，
顯然b_n＞0，
∴Sn≥S1=

3

8

，
又Sn=

1

2

-

1

32n-1

＜

1

2

，
∴

3

8

≤Sn＜

1

2

．

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質，不等式的應用，數(shù)列的求和等問題．考查了學生推理能力和運算能力．