定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足下列條件:
①存在常數(shù)a(0<a<1),使得f(a)=1;②對任意實數(shù)m,當(dāng)x∈R+時,有f(xm)=mf(x).
(1)求證:對于任意正數(shù)x,y,f(xy)=f(x)+f(y);
(2)證明:f(x)在正實數(shù)集上單調(diào)遞減;
(3)若不等式f(loga2(4-x)+2)-f(loga(4-x)8)≤3恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
解:(1)證明:∵x,y均為正數(shù),且0<a<1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知,總有實數(shù)m,n使得x=a
m,y=a
n,
于是f(xy)=f(a
ma
n)=f(a
m+n)=(m+n)f(a)=m+n,…(2分)
又f(x)+f(y)=f(a
m)+f(a
n)=mf(a)+nf(a)=m+n,∴f(xy)=f(x)+f(y)(5分)
(2)證明:任設(shè)x
1,x
2∈R
+,x
1>x
2,可令x
1=x
2t(t>1),t=a
α(α<0)…(7分)
則由(1)知f(x
1)-f(x
2)=f(x
2t)-f(x
2)=f(x
2)+f(t)-f(x
2)=f(t)=f(a
α)=αf(a)=α<0,
即f(x
1)<f(x
2).∴f(x)在正實數(shù)集上單調(diào)遞減;
(3)令log
a(4-x)=t,原不等式化為f(t
2+2)-f(8t)≤3,其中t>0.∵f(x)-f(y)=f(x)+f(y
-1)=
且f(a)=1(0<a<1),
不等式可進一步化為
,….(12分)
又由于單調(diào)遞減,∴
對于t>0恒成立.…(13分)
而
,
且當(dāng)
時
.…..(16分)
∴
,又0<a<1,終得
.…..(18分)
分析:(1)分別取x=a
m,y=a
n,再結(jié)合已知條件中的等式,化簡可以得出f(xy)=f(x)+f(y);
(2)設(shè)兩個正數(shù)x
1,x
2,且x
1>x
2,通過構(gòu)造x
1=x
2t(t>1),t=a
α(α>0),再用函數(shù)單調(diào)性的定義可以證出
f(x
1)-f(x
2)=αf(a)=α<0,可得函數(shù)在在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
(3)先利用(1)的結(jié)論,將不等式化為
,再根據(jù)(2)利用函數(shù)單調(diào)增的性質(zhì),轉(zhuǎn)化為不等式,∴
對于t>0恒成立,實數(shù)a的范圍就不難得出了.
點評:本題以抽象函數(shù)為依托,考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義解函數(shù)值不等式,屬于難題.解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法,在解題過程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想,在轉(zhuǎn)化過程中還要注意函數(shù)的定義域.